關於齊次函數 - 經濟

如果你有MGW那本, 也是可以啦, p. 928

(1)
定義: 一函數 f(X1, X2, ..., Xn) 在給定 t>0, 若具以下性質, 則稱f(．)為r階齊次

r
f(tX1, tX2, ..., tXn) = t f(X1, X2, ..., Xn)

(這很像... 有一Δ其兩邊等長, 則此為等腰Δ, 但應該很少要你證明等腰Δ兩邊等長吧)


(2)
若f(．)為一r次齊次函數, 則對任意i=1~n, 有以下性質:

f(．)的偏導函數為一(r-1)階齊次函數, 證明如下:

根據齊次的定義, 所以

r
f(tX1, tX2, ..., tXn) = t f(X1, X2, ..., Xn)

將整式對Xi微分, 則:

a f(tX1, tX2, ..., tXn) r a f(．)
t ──────────── = t ──── 兩邊同除t
a Xi a Xi

由齊次函數的 "定義" 得證, 偏導函數, 為一 (r-1) 階齊次函數


(3)
尤拉方程式: 若f(．)為一可微之r階齊次函數, 則對任一(X1, X2, ..., Xn)

將齊次函數的 "定義" 對t微分, 則有以下結果:

n a f(tX1, tX2, ..., tXn) r-1
Σ ──────────── Xi = rt f(X1, X2, ..., Xn)
i=1 a Xi

令t=1, 則

n a f(X1, X2, ..., Xn)
Σ ────────── Xi = r f(X1, X2, ..., Xn)
i=1 a Xi



還是建議你翻一下書 :)

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