間接效用函數性質&MRS遞減與S.O.C.關係 - 經濟

※ 引述《ponsal (心靈的廁所)》之銘言：
: 想要請教兩個問題
: 1.在只有x,y兩財的case裡
: 消費者均衡的S.O.C.為
: => 2pxpyuxy-(px)^2uyy-(py)^2uxx > 0
: 把F.O.C.代入
: => 2uxuyuxy-(ux)^2uyy-(uy)^2uxx > 0
: 課本寫說這暗示了"MRS遞減",但是我求不出來
: 我的作法:
: MRS = -ux/uy
: dMRS/dx = -(uyuxx - uxuxy)/(uy)^2(以d表示偏微)
: 不知道如何把-(uyuxx - uxuxy)/(uy)^2化成2uxuyuxy-(ux)^2uyy-(uy)^2uxx的形式?
: 2.在討論間接效用函數的特性時
: 課本寫道:
: v(p,m) is nonincreasing in p
: 這我有些疑惑
: p一旦增加
: 預算集合就會不一樣了
: 在無異曲線嚴格凸向原點下(課本這裡只有討論這種形狀的無異曲線)
: v(p',m)勢必會<v(p,m)
: 也就是v(p,m) is decreasing in p
: 不了解課本會什麼這樣寫?
: 煩請指教~謝謝^^

第一個問題:

首先 MRSxy是正的 切線斜率才是負的 所以MRSxy=MUx/MUy =-dy/dx (MUx*dx+MUy*dy=0)

MUx=(X,Y(X)) MUy=(X,Y(X))

dMRSxy/dx= {(Uxx+Uxy(dy/dx))Uy-(Uyx+Uyy(dy/dx))Ux}/Uy^2

= {(Uxx+Uxy(-Ux/Uy))Uy-(Uyx+Uyy(-Ux/Uy))Ux}/Uy^2

= {UxxUy-UxyUx-UyxUx+Uyy*Ux^2/Uy}/Uy^2

= {UxxUy-2UxyUx+Uyy*Ux^2/Uy}/Uy^2

= {UxxUy^2-2UxyUxUy+UyyUx^2}/Uy^3

=>因為Uy^3 > 0 所以若 dMRSxy/dx < 0 ,則 UxxUy^2-2UxyUxUy+UyyUx^2 < 0

亦即 2UxUyUxy-(Ux)^2Uyy-(Uy)^2Uxx > 0

也就是符合二次條件SOC 也imply了MRSxy遞減

至於第二個問題

我在原文推文了

以上

有錯的地方請不吝指正

謝謝

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