continuity - 經濟

※ 引述《ninmit (silent all the years)》之銘言：
: 關於連續 (continuity) , 看了很久還是不懂, 所以想請教各位先進.
: 在 Jehle and Reny (p.8, 2001), 定義 continuity 為
: For all x belongs to R(n)+, the "at least as good as" set >= (x), and
: the "no better than" set <=(x), are closed in R(n)+.
: 然後, 在 Varian (p.95, 1992) 定義則是
: For all y in X, the sets {x:x>=y} and {x:x<=y} are closed sets.
: It follows that {x:x>y} and {x:x<y} are open sets.
: 在 Open set 和 Closed set 方面我都懂. 我的問題是:
: 為什麼兩個 closed set 就會形成連續?
: 這是否在說明: 以 Jehle and Reny 的圖 1.2 (p.9) 來說明, 因為 x 是 better set 和
: worse set 的交集, 然後 better set 和 worse set 都是 closed, 所以 x 所形成的集合
: 是連續??!!
我想妳要問的是為什麼要這樣定義吧
我們起始關心的是偏好，不是實數，但偏好難以操作，所以想把它透過效用函數
轉成實數，而且希望這個效用函數有好的函數上的性質，如連續!
那就需要對偏好做一些假設，希望他對應的效用函數會有連續的性質

(1) 當{x:x>=y}是closed，表示對應效用函數會有上連續upper-semicontinuous(usc)
(2) 當{x:x<=y}是closed，表示對應效用函數會有下連續lower-semicontinuous(ulc)
兩個加起來，就有連續效用函數了（前提是偏好要有自反性、遞移、完整)

稍微解釋一下，
u(.)在x usc 的意思是 對任意ε>0
都存在一半徑為r的開集N(x,r) 使得 u(y)<u(x)+ε對所有y屬於N(x,r)^X ^是交集符號喔

u(.)在x lsc 的意思是 對任意ε>0
都存在一半徑為r的開集N(x,r) 使得 u(y)>u(x)-ε對所有y屬於N(x,r)^X


(1)的說明：
假設{x:x>=y}是closed，以及u在某個點x上不是usc
那麼存在ε，對任意r，都存在y屬於N(x,r)^X 使得 u(x)+ε<=u(y)
把r設成1/n 並把這些y取成一個序列yn，那麼這個序列的極限就會是x
因為{x:x>=y}是closed，所以x滿足u(x)+ε<=u(x)
矛盾!
就知道{x:x>=y}保證u(.)上連續

(2)也一樣

usc + lsc 保證連續 應該不用解釋吧


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