零和賽局與非零和賽局的求解 - 經濟

※ 引述《yogoin5566 (john)》之銘言：
: 想請問零和賽局與非零和賽局
: 求解的方法有不一樣嗎?
: 翻了幾本論文 雖然是非零和賽局
: 但是還是使用一開始零和賽局的線性規畫求解
: 因此有點疑惑
: 有勞各位高手解答 謝謝!



因為我對零和賽局認識不深,

且限於ptt的排版方式,無法有效的表示一些算式內容,

我只能簡略的分享自己的看法, 若有問題還請指教 !

我的看法是:

利用線性規劃求解應該是求解正則賽局 (normalform game )

或是賽局樹的普遍方法, 只是計算過程太過複雜,

所以才會用類似 backward induction 等其他特殊技巧直接進行判斷...



這裡有人可能會問: 用線性規劃求解, 解出來的是甚麼?

我的回答是: 解出來的結果是使用某一策略的機率組合。


以normal form game 為例, 假設有兩位玩家 A, B進行某一非合作賽局（非零和賽局）


如果玩家A 可選擇的策略選擇是 A :{U,M,D} (上中下)

B 可選擇的策略是 　 B :{l,m,r} (左中右)


各自報酬所形成的組合若以 V表示, 可寫成


V_i(j,k) 其中 i = {A,B}
j = {U,M,D}
k = {l,m,r}


意指玩家 i 在 兩位玩家選擇 {j,k} 時候的報酬.
A B


這個時候, 給定B所選擇策略{l,m,r}的混合策略是下機率 :{p,q,1-p-q},

則 A 在選擇不同策略的時的期望報酬如下 :


U: p V_A(U,l) + q V_A(U,m) + (1-p-q) V_A(U,r)

M: p V_A(M,l) + q V_A(M,m) + (1-p-q) V_A(M,r)

D: p V_A(D,l) + q V_A(D,m) + (1-p-q) V_A(D,r)



而此時, 玩家 A 就是在給定B 使用{p,q,1-p-q}策略下 ,

找出另一組混合策略{x,y,1-x-y}來極大化自己的期望效益。

反之對玩家B 也一樣。



從剛剛對賽局期望報酬的描述可以看出, 求解雙方的均衡策略

{p,q,1-p-q}, {x,y,1-x-y} 恰好都是呈現線性的結構,

整個問題從本質上來看, 其實與 linear programming 無異。

(記得要加入 x,y,p,q 均落在[0,1]之間的假設,
如果超過1即形成角解(corner solution))



換言之, 如果今天解出的結果p, q 某一項為1,

代表該模型中存在 pure strategy solution (純策略) ...


簡言之, 一個較為正式的求解賽局方法應該由此描述。

而extented form game (賽局樹)所呈現的機率結構則更為複雜,

更別說考慮 belief 的情況了 ...



p.s :

以我過去的學習經驗來看, 其實經濟學中大部分的賽局問題都有經過設計好,

所以可以直接透過簡單的判斷規則找出均衡策略 (而且通常解是唯一),

一般的情況下, 要找出所有的均衡解, 我猜使用線性規劃求解,

除了比較一般化以外, 也能夠方便與電腦程式配合, 達到找出所有解的目的。



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