從po文到現在已經過了兩個星期, 或許你已經找到答案了,
不過因為剛好看到你的問題, 所以簡單的回答一下 ~~
因為沒有看過完整的上下文模型, 所以只能夠根據我個人的經驗進行回覆,
若有錯誤也請見諒 !!
※ 引述《zz61301 (沙必死)》之銘言：
: 標題: [作業] sollow 模型的幾個問題
: 時間: Sat Mar 28 16:00:56 2015
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: 最近在修總經 老師教到sollow經濟成長模型
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: 出了點回家功課 我看了很久有幾題真不知道該怎麼下手
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: 可能是我對於這模型不夠熟悉了解 希望板上能有能者幫忙一下
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: Sppose the production function is Cobb-Douglus Y=A*K^(a)*L^(1-a)
: (3) Use the key equation of the sollow growth model to work out a formula
:
: for △k/k. Can you show that △k/k falls during the transaition as k
:
: rises? What happens during the transtion to △y/y?
:
:
Step1:
如果我沒有猜錯的話, 這裡的符號定義應該如下:
Y : 經濟體系內的總產出
L : 總勞動人口
K : 總資本存量
y : Y/L (每人的平均產出)
k : K/L (每人的資本持有量)
A : Solow Residual (不屬於勞動收入或資本收入的部分)
如果我們將 Cobb-Douglas 的生產函數: Y=A*K^(a)*L^(1-a) 同時除以L,
稍微整理一下即可得到
y = A k^(a) ---------------- (1)
Step(2)
根據推文中版友的作法, 我們將 (1) 式取 ln 之後, 可以得到
ln(y) = ln(A) + a* ln(k) ---------------- (2)
(我會在後面解釋取 ln 的意義和成長率的關係)
Step(3)
如果 y, A, k 均為時間 t 的函數, 則我們將 (2) 同時對t微分,
即可得到
y'(t) A'(t) k'(t)
_______ dt = ________ dt + a* _______ dt -----------(3)
y A k
用比較不嚴謹的數學概念,
如果我們將 dt 移除 (將微分和差分視為類似的概念 ),
即可得到全微分的結果 :
△y/y = △A/A + a △k/k -------------------------- (4)
因此這樣可以回答你題目裡的兩個問題:
a) Can you show that △k/k falls during the transition as k rises ?
假設 △k 不變 (第t期增加到第t+1期的資本增加輛沒有改變),
但是第t期的起始點增加, 此時因為分母變大的關係, 將導致
△k/k變小
b) What happens during the transtion to △y/y?
在△A/A沒有改變的情況下, 我們由 (4) 可知△y/y 與 △k/k的變化呈現
a倍的正比關係, 所以當 △k/k 減少時, △y/y將漸少 a倍
------------------------------------------------------
後記:
一般在總體經濟的模型中, 計算成長率之所以會取 ln 在進行微分的原因
是來自於ln 在一階泰勒展開式下的特性:
ln(1+r) = ln(1) + (1+r-1) = r (這可以從一般微積分教科書找到)
想像第 t 期的總產出是 y(t), 第t+1的總產出是 y(t+1),
所以由 t至t+1的成長率 g 應該可以寫為
y(t+1)
g= _______ -1 = △y/y
y(t)
也因此, 如果你要計算第t 到第t+1的成長率, 可以用這樣的近似來看 :
g = ln(y(t+1)) - ln(y(t))
y(t+1)
= ln __________ = ln(1+g) = g =△y/y
y(t)
希望有回答道你的問題 !
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