證明長期要素需求負斜率 - 經濟

※ 引述《lsea800429 (MasterYu)》之銘言：
: 來源: 99/100清大經研個經
: 科目:個經
: 問題:試證明長期完全競爭要素需求負斜率
: 我的想法:
: (原文是說"因素"我想應該是要素吧 翻譯問題?)
: 這是第二小題
: 第一題是試說明短期完全競爭要素需求負斜率
: 我想還是要從邊際生產力遞減這部份來說明
: 雖然用一階齊次的CD函數很容易舉例
: 可是證明題應該要用通式吧?
: 應該是用
: Y=(dY/dL)*L+(dY/dK)*K
: 下手嗎?
令個別廠商生產函數Y(K,L), dY=Yk dK + Yl dL,
邊際生產力遞減 Ykk<0, Yll<0

完全競爭的個別廠商只能接受商品和要素市場價格,
然後短期價格不變下選擇自己能獲得最大利潤的產量
假定商品價格P, 單位要素成本w,r
π=PY-wL-rK, dπ= (P Yk -r)dK + (P Yl -w)dL
短期K不變(dK=0),則 Yl=w/P 時有短期最大利潤π
當L要素市場w改變時, d(Yl)/dL = d(w/P)/dL= 1/P dw/dL <0
dw/dL <0 為負斜率

長期個別廠商會選擇K,L使Yl(K,L)=w/P, Yk(K,L)=r/P時生產,以獲取最大利潤π
令 d K(w,r)= Kw dw + Kr dr
d L(w,r)= Lw dw + Lr dr
1/P dr = d Yk(K,L) = Ykk dK+Ykl dL = (Ykk Kw+Ykl Lw)dw + (Ykk Kr + Ykl Lr)dr
則(Ykk Kr + Ykl Lr)=1/P, (Ykk Kw + Ykl Lw)=0
同理 (Yll Lw + Ykl Kw)=1/P, (Yll Lr + Ykl Kr)=0
Kw=-Ykl/Ykk Lw
Kr=-Yll/Ykl Lr
-Ykk Yll/Ykl Lr + Ykl Lr=1/P 則 Lr= 1/P Ykl/(Ykl^2- Ykk Yll)
Kr= 1/P (-Yll)/(Ykl^2- Ykk Yll)
Lw= 1/P (-Ykk)/(Ykl^2- Ykk Yll)
Kw= 1/P Ykl/(Ykl^2- Ykk Yll) = Lr

在商品市場P固定下,
(當 (Ykl)^2 = Ykk Yll 時 Kr, Lw無限大沒意義)
當 (Ykl)^2 < Ykk Yll 時 Kr, Lw為負, 要素市場負斜率
當 (Ykl)^2 > Ykk Yll 時 Kr, Lw為正, 要素市場正斜率

回到 dπ= (P Yk -r)dK + (P Yl -w)dL
πkk = P Ykk πkl=P Ykl πll=P Yll
令D= (πkl)^2-(πkk πll) = P^2 (Ykl^2- Ykk Yll)
D>0 為鞍點, 故 D <= 0 , π才會有極值
請參閱 http://ind.ntou.edu.tw/~metex/Calculus/SecondTerm/CH7.pdf

所以 (Ykl)^2 < Ykk Yll
Kr, Lw為負, 要素市場負斜率

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