經濟數學 Envelope Theorem - 經濟

※ 引述《alwelcome (大太陽)》之銘言：
: 一廠商有如下的生產函數
: Q=(KL)^(1/a)
: 式中Q為產量，K為資本數量(每單位價格為r)，L為勞動投入數量(每單位價格為w)。
: 在長期的情況之下，資本與勞動的投入均可以自由調整，故長期的生產成本函數如下
: C(w,r,Q)=lim{wL+rK│KL=Q^a}
: K,L
: (1)請用Lagrange方法，計算長期下的最適資本、最適勞動投入與最小生產成本
a要大於2才有長期最適狀況
d(Q-C)=d[(KL)^(1/a)-wL-rK]= ((Q/La)-w)dL+ (Q/(Ka)-r)dK
為使利潤最大((Q/La)-w)=0 且 (Q/(Ka)-r)=0
L=Q/(aw) K=Q/(ar) 代回Q=(KL)^(1/a) 則Q=Q^(2/a)/(a^2 r w)^(1/a)
Q^((a-2)/a)=(a^2 r w)^(-1/a) 則 Q=(a^2 r w)^(-1/(a-2))
K=Q/(ar)= a^(-a/(a-2)) r ^(-(a-1)/(a-2)) w^(-1/(a-2))
L=Q/(aw)= a^(-a/(a-2)) w ^(-(a-1)/(a-2)) r^(-1/(a-2))
C=wL+rK= 2Q/a= 2 a^(-a/(a-2)) r ^(-1/(a-2)) w^(-1/(a-2))

: (2)假設短期時資本無法調整，請寫出短期之下的生產成本函數
Q=(KL)^(1/a)且K固定則L=Q^a/K
C=wL+rK= wQ^a/K + rK

: (3)請計算出長期之下的邊際生產成本函數
dQ=d[(KL)^(1/a)]= (Q/(La))dL+ (Q/(Ka)dK
dC=wdL+rdK
等Q線上 Q/(La)/w=Q/(Ka)/r 時有最小成本
則令t=wL=rK 則Q=(t^2/rw)^(1/a) 且 C=2t= 2(rwQ^a)^0.5

: (4)請計算出短期之下的邊際生產成本函數，並說明它在何種情況之下，會等於長期之
: 下的邊際生產成本函數
短期之下的邊際生產成本函數:
C= wQ^a/K + rK 則 dC/dQ = waQ^(a-1)/K
長期下邊際生產成本函數
C= 2(rwQ^a)^0.5 則dC/dQ = a(rw)^0.5 Q^((a-2)/2)
waQ^(a-1)/K =a(rw)^0.5 Q^((a-2)/2)
Q^(0.5a)=(r/w)^0.5 K 則 Q= (r/w K^2)^(1/a)時會有相等
或者說 KL=Q^a=(r/w) K^2, 即rK=wL時二者會相等

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