生產函數之彈性導出 - 經濟

※ 引述《atxp4869 (雅妍，最高\(￣▽￣)/！)》之銘言：
: 科目:個體經濟學/CES與C-D函數彈性導出
: 問題:我想利用自然對數全微分的方法
: 導出CES及C-D函數的產量彈性 要素替代彈性 跟生產力彈性
: 其中CES函數為 Q=γ[δK^-α+(1-δ)L^-α]^-1/α
: C-D函數為 Q=L^α*K^β
: 我的想法:
: 一、C-D的產量彈性
: 取自然對數會變成 ㏑Q=α㏑L+β㏑K
: 再對L取偏微分(暫用d代替) d㏑Q=αd㏑L+βd㏑K
: 因為是對L偏微 所以βd㏑K=0，d㏑Q=αd㏑L 勞動產量彈性=d㏑Q/d㏑L=α
: 這樣就可以了嗎
: 如果以上推論過程完全無錯
: 那是不是可以用這種方法推導CES的產量彈性呢?
: 二、CES的生產力彈性
: 在C-D函數中 生產力彈性可以用自然對數的方法導出來
: 也就是以下過程(此處d指全微分)
: ㏑Q=α㏑L+β㏑K
: d㏑Q=αd㏑L+βd㏑K
: ∵d㏑L=dL/L d㏑K=dK/K 且dt/t(=d㏑t)=dL/L=dK/K
: ∴d㏑Q=αd㏑t+βd㏑t
: d㏑Q=d㏑t(α+β) 生產力彈性=d㏑Q/d㏑t=α+β
: 我CES也是取自然對數跟全微分 但都弄不出來
: 我已經知道CES的生產力彈性等於1

這裡有點小問題，就提出來討論一下
基本上，CES(Constant Elasticity of Substitution)
指的是生產要素的替代彈性為固定
如果原PO要討論的生產力彈性是d㏑Q/d㏑t
那麼，這與CES函數的特性應無關
這種情況下，其實不見得一定要取對數來算
如soun所提出的全微分推導便可算出

但生產要素替代彈性的部分
可參考Jehle and Reny的Advanced Microeconomic Theory(2nd)的p.121
他的定義還滿清楚的
如果是像這裡的兩變數的case
其實用 替代彈性 = dln(K/L)/dln(MRTS)的概念來想會比較好算

此處 MRTS(LK) = [(1-δ)/δ]*[(K/L)^(α+1)]

==> ln(MRTS) = ln[(1-δ)/δ] + (α+1)ln(K/L)

==> dln(MRTS) = (α+1)dln(K/L)

==> 生產要素替代彈性 = dln(K/L)/dln(MRTS) =1/(α+1) ....(#)

所以可以發現這替代彈性是一個常數(也因此被稱為CES函數)



另外有一個可以延伸的探討是
當α--> 0時，整個CES函數會趨近於C-D函數
(請參閱MasColell的習題3.C.6
習題中的函數型態其實是比較常見的，跟這裡不大一樣
但基本運算的流程與結構差異不大
另，雖習題中是效用函數；但同上，運算過程可自行替換)
亦即，此處也會如C-D函數計算要素替代彈性一樣
當然，這裡彈性=1應該是沒有問題的
直接對C-D計算彈性計算，或用上述的趨近概念
再將Eq(#)取α--> 0都可以得到彈性=1的結果
所以，C-D其實也是CES家族的一份子

最後，α愈大代表替代性愈低
若趨近無窮大，生產函數就趨近完全互補
而在此處的設定上，α若等於 -1，則生產函數為線性
也就是完全替代的情況
(剛剛提到的MWG習題3.C.6也有類似結論，不過因設定上的差異
那個題目的case是α= 1 則效用函數為線性，但精神不變)


匆匆算完，如果過程有誤敬請指教
也歡迎一起討論 :)


: 也就是說算到最後 一定會出現dQ/Q=dt/t(或是d㏑Q=d㏑t)的結果
: 可是CES函數 我取了自然對數後 就算不下去了
: 做了全微分也弄不出想要的d㏑L 與 d㏑K
: 請問有高手可以化簡給我看一下嗎
: 感謝

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