無異曲線一問 - 經濟

※ 引述《redpop (poopoo)》之銘言：
: ※ 引述《yugin900524 (IMRP)》之銘言：
: : 請問為什麼無異曲線呈現正斜率,
: : 兩商品的邊際效用必為一正一負?
: : 可以舉個例嗎?
: : 謝謝!!
: 其實這種概念性的問題不難想,怕的是想的不夠周全,例如正斜率的無異曲線還分為MRS
: 遞增和遞減的不同型態,我就簡單假設dy/dx為固定的正數（正斜率直線）
: 最直觀的想法就是,無異曲線上每一點效用水準必須相同,因此從其中一條無異曲線上任
: 一點A觀察,假設效用水準為Io,此時給予dx（極小）單位的X商品其效用水準為Io＋MUx,
: 此時A點已偏離原無異曲線往右dx單位,欲回到原正斜率直線上必須給予dy數量的Y商品
: （符合斜率定義）新效用水準 = Io + MUx + MUy = Io (整個無異曲線效用水準均為Io)
這個式子要符合很多條件才會成立
而且根據此式 MUx = MUy =0 也符合 (顯然矛盾)
(Ux + dUx)(x+dx)+(Uy + dUy)(y+dy) = (Ux)*x + (Uy)*y
這個式子才是你原本想法的數學表達
dUx(x+dx) + dUy(y+dy) + Ux*dx + Uy*dy = 0
這一串才是改變量 斜率的條件會變成 dx = mdy
不過這串東西很複雜不好討論下面有另一個比較簡單的解法

總效用 TU(x,y)= TUx(x) + TUy(y)
同一條無異曲線上代表總效用不變
翻譯成微積分語言就是 dTU=0
對TU全微分
dTU= (TU偏微x)dx + (TU偏微y)dy
= (TUx偏微x)dx + (TUy偏微y)dy
= (MUx)dx + (MUy)dy = 0

移項整理成 dy/dx = -MUx/MUy
正斜率 dy/dx > 0 時 -MUx/MUy > 0
此時MUx跟MUy為一正一負才能成立

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