準線性函數 - 經濟

※ 引述《tteerryy (terry)》之銘言：
: 題目:u(x)具有準線性偏好，證明V(u(x))亦為準線性偏好，其中V'(u(x))>0

令 dU(x,y)= Fx dx + Fy dy (Fx, Fy分別為U對x,y之偏微分)
過任意點(x,y)之等效用U線之切線應為 Fx x + Fy y = k
假定x和y之價格分別為p1, p2
成本為h之等成本線為 p1 x + p2 y= h

等成本下之最佳效用發生在等成本線與等效用線相切時
(x,y)須符合 Fx/p1 = Fy/p2

而對任意函數 V(U(x,y))
d V = (dV/dU) dU = [Fx (dV/dU)] dx + [Fy (dV/dU)] dy
等成本線與之相切處 [Fx (dV/dU)] / p1 = [Fy (dU/dV)] /p2
兩邊消掉 dV/dU => (x,y)仍須符合 Fx/p1 = Fy/p2

意即等成本下最佳效用之(x,y)組合,在U(x,y)和V(U(x,y))完全相同
若U(x,y)之x,y具準線性偏好,V(U(x,y))自然也具準線性偏好



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