數學概念問題 - 經濟

※ 引述《bournetique (bournetique)》之銘言：
: 想問個數學概念問題, 是在唸經濟學paper時的疑惑...
: 我把問題抽象化如下:
: 兩個一階條件:
: f(x,y;a,b)=0 (1)
: g(x,y;b,c)=0 (2)
: 想像x,y是變數, a,b,c是參數, 故由上兩式可以決定x*與y*
: x*(a,b,c)
: y*(a,b,c)
: 一般比較靜態會求一些諸如dx*/da的正負號等等...
: 但是我看的那篇paper, 在寫出(1),(2)式之後, 以(1)式對x,y進行全微分
: 得到了例如 dx/dy>0 之類的結果
: 我的問題就是這裡, 如果x與y都是變數, 針對(1)的全微分是什麼意思? 又要如何解釋?
: 數學概念太差, 請各位指導一下... 感謝...


舉個例子給你(關於全微分)：

(一) 有一個函數 x = ay + b 這叫 x = f(y;a,b)

其中a、b 看成在「現在這個討論的情形」下為常數
x、y 在「現在這個討論的情形」下為變數

很容易可以得到

dx/dy = a

(二) 上面那個函數可以寫成 x - ay - b = 0 這叫 g(x,y;a,b) = 0

寫法不一樣，函數還是同一個，所以dx/dy意義也一樣，
但寫成這樣 dx/dy怎麼求呢

很簡單，因為dx/dy是把 y 看成自變數(就是dx/dy下面是dy啦)
那就將式子的兩邊 對y微分(等號還是會成立)

其中 x - ay - b = 0 中的

第一項 dx/dy 多少不知道，但你知道 x,y有函數關係(互相變動關係)，
不會是0，那就先留著，還是寫成 dx/dy
第二項 da/dy = 0 (因為 上面說到 目前 a 看成常數)
dy/dy = 1
第三項 db/dy = 0 (同理，b是常數)

右邊 d0/dy = 0

所以，整個式子對 y 微分，得到

dx/dy - [ (da/dy)y + a(dy/dy) ] - db/dy = d0/dy

化簡得

dx/dy = a

算出來了，答案跟上面一樣。


(三) 補充一下

x = f(y;a,b) 叫明顯的函數關係
g(x,y;a,b) = 0 叫不明顯的函數關係，學名叫「隱函數」

想從「隱函數」裡，求出dy/dx或 dx/dy 的過程，就叫「全微分」

(四) 出處： 大一微積分基本性質


(五) 當然 g(x,y;a,b) = 0 也可從二變數函數的觀點來解釋
但沒有畫圖的地方，怕效果有限

簡單的講
z = g(x,y;a,b) 是空間中的一個曲面 (如果這個你不知道，下面不用看了)
g(x,y;a,b) = 0 是該曲面上 被 z = 0 這個平面切出來的一條曲線
也就是 g(x,y;a,b) = 0 是空間上的一條曲線

在 g(x,y;a,b) = 0 上求 dy/dx 或 dx/dy
就是求 在這條曲線上 y 如何 隨著 x 變化
或 x 如何 隨著 y 變化


(六) 講完了，paper看得太煩，上來發洩一下。










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