我真的看不懂這題在幹嘛 請教高手 - 經濟

※ 引述《ex702020 (寒霜兒)》之銘言：
: 若 X(P1,P2,P3,I)為零次齊次函數

求X1+X2+X3=???

首先X1,X2,X3是三種商品的數量。

零次齊次的意思經濟意義暗示「沒有貨幣幻覺」這句話沒錯。

因為消費者不會因為同時物價上漲10%及所得上漲10%就認為自己「所得」增加的幻覺。

零次齊次的數學定義如下：


X(tP1,tP2,tP3,tI)=X(P1,P2,P3,I)


記得這個定義。


因為X1,X2,X3都是零次齊次，由上面的定義可以知道：

X1(tP1,tP2,tP3,tI) =X1(P1,P2,P3,I)

X2(tP1,tP2,tP3,tI) =X2(P1,P2,P3,I)

X3(tP1,tP2,tP3,tI) =X3(P1,P2,P3,I)

上面的t為任意倍數，只要t>0即可。(而且3個X1,X2,X3的t可以不一樣如t1,t2,t3)

因此由 X1(1,1,1,6) 可知P1=1,P2=1,P3=1,I=6 => X1+X2+X3=6

X2(2,2,2,12)可知P1=2,P2=2,P3=2,I=12 => 2X1+2X2+2X3=12

X3(4,4,4,24)可知P1=3,P2=3,P3=3,I=24 => 4X1+4X2+4X3=24

題目問你 X1+X2+X3=????


其實你看上面，隨便一條都知道X1+X2+X3=6



簡單來說零次齊次函數X1,X2,X3這3個同時成立，隱含


P1*X1+P2*X2+P3*X3 = I

這條預算式永遠被滿足，在同時增加t倍時，不會改變X1,X2,X3的需求量。


一般式証明如下,X1,X2,X3為最適下的需求函數因此：

P1*t*X1(tP1,tP2,tP3,tI) +

P2*t*X2(tP1,tP2,tP3,tI) +

P3*t*X3(tP1,tP2,tP3,tI) = tI

因為已知X1,X2,X3是零次齊次的需求函數：

X1(tP1,tP2,tP3,tI)= X1(P1,P2,P3,I)
X2(aP1,aP2,aP3,aI)= X2(P1,P2,P3,I)
X3(bP1,bP2,bP3,bI)= X3(P1,P2,P3,I)

上面性質來自於零次齊次。t,a,b>0

因此可以得到：

P1*t*X1(P1,P2,P3,I) + P2*t*X2(P1,P2,P3,I) + P3*t*X3(P1,P2,P3,I) = tI

同除t，可以得到：

P1*X1(P1,P2,P3,I) + P2*X2(P1,P2,P3,I) + P3*X3(P1,P2,P3,I) = I

得証。

最後，因為零次齊次，你可以操作任意倍數，上面可以寫成一般式：


P1*X1(tP1,tP2,tP3,tI) + P2*X2(aP1,aP2,aP3,aI) + P3*X3(bP1,bP2,bP3,bI)=I

(以上証明是一般式)


假定有人突然想到，如果令t=a=b=1 是不是又回到上式了。

只要滿足t,a,b>0 上述的一般式隨便你怎麼玩，都會成立。這就是零次齊次的威力。




: 求 X1(1,1,1,6)+X2(2,2,2,12)+X3(4,4,4,24)=?
: 解
: X1(1,1,1,6)=X2(2,2,2,12)=X3(3,3,3,24)
: 預算式
: P1X1+P2X2+P3X3=I=6
: 所以X1+X2+X3=6
: 我看解答真的一頭霧水
: 我只知道零次齊次函數沒有貨幣幻覺
: 剩下的我真的看不懂就寫什?
: 煩請指教
: 謝謝

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到頭來，反覆思考一件事直到邏輯完美，果然才是真正研究。

試誤法、模仿法、抄寫法最後一直在我的生活發生。

以前的唸書觀念，即使在現在仍然沒有改變。

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