如何證明效用函數為齊序 - 經濟

就我微薄的認知中，齊序是齊次的單調轉換，在經濟世界因為一般假設效用
乃是多多益善，也就是說越多越好，為了保持這個偏好關析，而不會在轉換
之後變成越多的x越少的效用，所以必須額外加上遞增的條件。
舉例來說，x是一組商品x=(x1,x2,x3..)
g(x)乃是一齊序效用函數，則g'(x)就必須大於零。(x越多，效用越大)

接著來說如何判斷齊序函數，假設f(x)是一個k次齊次函數，根據齊次函數定義，
我們得出f(ax)=a^k*f(x)。f'(ax)=(a^(k-1))f'(x)，這說明在x等比例線中，
他們的梯度方向是相同的。而在效用極大化條件下，梯度向量將等於價格向量。
舉例來說，若只有兩個商品x y，則則他們的梯度向量就是(MU1,MU2)將等於(P1,P2)
也就是說將商品組合等比例放大縮小，他們的梯度向量方向將是一致，但大小會變。
而MRS=MU1/MU2,在同比例放大縮小的組合點中，MRS將會一樣，而符合這樣的情況
只有在MRS=F(X/Y)才有可能，所以只要將MRS求出，可表成X/Y的函數的，都是一個
齊次函數。例如MRS=(X/Y)*3、(X/Y)^-1等等

再來根據齊序函數定義，若f(x)是齊次，則齊序為g(x)=g(f(x))，加上遞增限制，g'>0
舉例來說f(x)=x^2，則g(x)可以是8(x^2)+7或(x^2)^2....很多很多，但不會是
-8(x^2)這類的，因為這樣就變遞減了，越多的x反而效用越低。

那我們要怎麼判斷是否為齊序函數呢?這可能要有一點數學證明。
沿用上面，若f(x)為一k次齊次，且g(x)=g(f(x))是一齊序函數，在一些證明下
可以證出g'(ax)=(某一定值)*g'(x),這性質跟齊次一樣，只是不再是(a^(k-1))的
倍數關係。
這代表等比例的商品點中，梯度方向皆相同，跟齊次函數一樣，MRS可以表為F(X/Y)
這也就是我們最常用來判斷齊序函數的方法啦!!

不然還有一個方法，如果有一齊序函數例如g(X)=X^2-16，因為f(x)=X^2為齊次，
所以我們知道g(x)=g(f(x))=x^2-8，是一個單調轉換，所以就知道他是齊序了，
不過函數複雜的話可能不好找!!






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