兩要素(MPL與MPK)是資本密集度(K/L)的函 - 經濟

※ 引述《vince68 (Hi! )》之銘言：
: 兩要素(MPL及MPk)是資本密集度(K/L)的函數證明
恐怕不是所有函數都具有這樣的性質
如果Q=F(K,L)=K^2+L^2就不行(MPK=2K,MPL=2L)

先來看看怎樣的函數會讓MPK=H(K/L),MPL=J(K/L)好了
令Q=F(K,L)
今若已知F(0,0)=N0,MPK(k,l)=m1,MPL(k,l)=m2欲求F(rk,rl), 0<r<1
則(rk,rl)在(0,0)與(k,l)連線上,任意r值使K/L=rk/rl=k/l,
則線上任意點(rk,rl)使MPK(rk,rl)=MPK(k,l)=m1,同理MPL=m2
沿該線dF(rk,rl)=MPK dK + MPL dL= m1 d(rk) + m2 d(rl)= (m1k+m2l)dr
則F(rk,rl)-F(0,0)=r(m1k+m2l)=rk(MPK(k,l))+rl(MPL(k,l))
也就是說F(rk,rl)-F(0,0)必須為規模效益不變的函數且為K,L齊次函數
F(K,L)=N0+ K MPK(k/l)+ L MPL(k/l)

反過來說,如果F(K,L)=N0+G(K,L)其中G(K,L)為K,L一次齊次函數G(rk,rl)=rG(k,l)
Gk(rk,rl)=[G(r(k+Δk),rl)-G(rk,rl)]/[r(k+Δk)-rk]
= [rG((k+Δk),l)-rG(k,l)]/(rΔk)=[G((k+Δk),l)-G(k,l)]/(Δk)=Gk(k,l)
也就是說(0,0)到(k,l)連線上任一點(即相同K/L)具有相同之Gk與Gl,
相同MPK與MPL(因不論K/L為多少,相交共享相同之唯一F(0,0)=N0常數)
則MPK與MPL皆為(K/L)之函數

結論:
欲使MPK=H(K/L),MPL=J(K/L) 則 F(K,L)必須為N0+一次齊次函數
只要F(K,L)為N0+一次齊次函數 則 MPK=H(K/L),MPL=J(K/L)

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