Walrasian budget set 的 Convexity 問題 - 經濟

我自己發現了答案, 很白痴...

x and x' belongs to B {p.w}
therefore px <= w, px' <= w

x'' = alpha * x + (1-alpha) * x'
i. x'' belongs to LR by convexity of LR
ii. p* x'' = alpha * p * x + (1-alpha) * p * x'
<= alpha * w + (1-alpha) * w = w #

要求 X 為 convex 是為了滿足上述條件 i.

※ 引述《washburn (Just a game)》之銘言：
: 為了搞懂消費者效用函數的一階偏微分與主觀機率的關係，我重讀 Mas-Colell,
: Whinston & Green 的 Microeconomic Theory (1995)，結果在第二章談 consumer
: choice 的地方發現了這個問題。
: 假設商品選擇的數目（注意：非個別商品的數量！）有限，僅存在 L 種商品，
: 可能的商品組合可以寫成：
: Commodity vector：x = [x1, ..., xL]' belongs to LR+
: （LR+ 即 R^L_+，如果你習慣 TeX 的表示法），
: 則消費組合可以寫作：
: Consumption set：X = LR+ = {x belongs to LR: xl >= 0 for l = 1, ..., L}。
: 其中，LR+是一個 convex 集合，即當 x belongs to LR+、x' belongs to LR+，
: x'' = alpha*x + (1-alpha)*x' belongs to LR+。
: 然後在 principle of completeness，即上述 L 種商品在市場以公開價格交易，
: 價格可以表示為：
: Price vector：p = [p1, …, pL]' belongs to LR+；
: 以及 price-taking assumption之下，再假設消費者的財富為 w，所謂 Walrasian
: budget set，是指個別消費者的預算限制為：
: Walrasian budget set：B {p,w} = {x belongs to LR: p*x <= w}。
: 而 Walrasian budget set 也是 convex，MWG 是這樣寫的：
: ... the convexity of B {p,w} depends on the convexity of the consumption
: set LR+. With a more general consumption set X, B {p,w} will be convex as
: long as X is.
: 請問，為什麼在 X 為 convex 時，B {p,w} 也是 convex？

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