Re: 關於拍賣理論 - 經濟

※ 引述《yellowball (大黃球)》之銘言：
: ※ 引述《coolbetter33 (香港3345678)》之銘言：
: : 藉由此標題我想順便問一下
: : 拍賣理論裡面有一個是"高標者付次標者的錢" 算是一個公平的賽局
: : 請問大大此有證明嗎 ??
: : 我是認為高標者就付高標者的錢就好啊
: : 只是後來忘了這個理論背後的原因
: : 有大大可以提醒一下嗎??
: 簡單說就是Vickrey設計的這個拍賣機制
: 可以誘使所有投標者的出價等於此拍賣物對他們本身的價值。
: 或者簡單一點的說，
: 誠實的投標。(投標價等於自己心中的願付價格)
: 很抱歉解釋的有點囉嗦XD
: 如果高標者就付高標者的錢，
: (也就是一般英式拍賣)
: 就實證來看，
: 投標者的出價會低於他們的最高願付價格。
: http://0rz.tw/7FUBK
: 簡單證明上面那個pdf檔有。
: 見第5, 6頁。
: 最常提到的實例就是集郵拍賣及Google Adwords。
: Google首席經濟學家Hal Varian對後者也有諸多討論在網上可以找到。
: youtube甚至還有Google如何實行這樣的Vickrey auction的介紹跟說明影片。
: 而現今主要拍賣仍未採取Vickrey auction的原因也很簡單，
: 就是拍賣方賺的錢比一般英式低。
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補充說明一點, 事實上, 如果在某些特定條件下，

(機率分配為 iid, 投標者為risk neutral),

英式拍賣所產生的預期收益其實會恰好與 Vickery 拍賣的收益完全一樣。

這就是著名的收益均等定理 (Revenue Equivalence Theorem)

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上學期剛好上完陳恭平老師的個體經濟理論四,

上課的內容也恰好提及您所提到的拍賣理論內容, 在此跟您分享一下。

(也可參考朱敬一, 陳恭平個體經濟學)

一般來說, "得標者付次高價"這樣一個拍賣制度我們稱為 2nd price auction

（也可稱為Vickery Auction）。

這種拍賣制度的特色是: 如果投標者內心對此商品的價格是 100 元的話,

那麼他的最佳投標策略也就是標 100 元。


不過，上述這樣結果能成立必須滿足一個條件：

1.每一個投標者的機率分配為 iid (identically distributed distribution)


我稍微整理了一下陳老師的上課筆記, 您可以參考一下, 證明中的數學的部分

我使用 latex 的原始碼, 有興趣的版友可直接將數學符號貼在

http://mathurl.com/ 然後按一下 enter 就會把數學式子應在網頁上...


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考慮一個兩人一件商品競標行為, 並且假設兩人對此商品心中的價值均介在

[0,\bar{v}] 之間, 機率密度函數均為 f(v)。

　

對任一位投標者而言, 我們可以定義他的投標策略函數(bidding function) b(v)。

換言之, 當投標者對商品價值為5時, 他用 b(5) 競標所產生的預期收益是最大的。



在上述設定下，如果投標者的type 是v, 卻用價格是用 b(r)

投標所產生的預期效用可寫為

\int_{\{v':b(r) > b(v')\}}(v-b(v'))f(v')\,dv'

其中 v' 是對手對商品的心中價值, 我們用此期望報酬

找出對手輸給 b(r) 的所有可能的期望值。



然而, 由於 bidding function b(.) 具有單調遞增的性質, (假設此性質已知...)

因此原先的積分區域可以進行改寫, 使得整個問題被簡化為

\max_{r} \int_{0}^r(v-b(v'))f(v')\,dv'


由於 r=v 時有極大值, 因此對r 微分後, 我們可用Leibniz formula 把積分消去, 得到


f(v)(v-b(v)) = 0 \hspace{1em} \forall \ v \in [0, \bar{v}]



因此 b(v) = v 。　



換言之，從機制設計的角度來看, Vickery auction 具有誠實申報的性質

(truthfully - telling mechanism)。

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