GLS Efficiency - 經濟

By Genevieve
at 2010-10-26T10:49
at 2010-10-26T10:49
Table of Contents
Let Omega^{-1} = P'P, in which P is invertible.
Let Z = P'^{-1} X.
var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
= X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
= X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
= X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.
Q.E.D.
※ 引述《navarra (Maestoso)》之銘言:
: 在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank,
: 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity),
: 則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X),
: 而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
: (此處的 ' 表示矩陣轉置,inv 表示反矩陣)
: 為證明此種情況下,GLS 估計式比 OLS 估計式更具效率,
: 我必須證明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS),
: 也就是上述兩個矩陣相減至少是一個 positive semidefinite matrix
: 現在的問題是:OLS 的部分有一個 (X'ΩX),GLS 的部分則是 inv(X'inv(Ω)X)
: 我似乎無法找到兩者結構的共通處以進一步化簡,因為 X 不是 square matrix
: 試了很久也無法將兩者相減的矩陣寫出一個類似 a'Ma>=0 的型式
: 不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick?謝謝
--
無異曲線在無異個什麼鬼
--
Let Z = P'^{-1} X.
var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
= X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
= X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
= X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.
Q.E.D.
※ 引述《navarra (Maestoso)》之銘言:
: 在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank,
: 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity),
: 則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X),
: 而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
: (此處的 ' 表示矩陣轉置,inv 表示反矩陣)
: 為證明此種情況下,GLS 估計式比 OLS 估計式更具效率,
: 我必須證明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS),
: 也就是上述兩個矩陣相減至少是一個 positive semidefinite matrix
: 現在的問題是:OLS 的部分有一個 (X'ΩX),GLS 的部分則是 inv(X'inv(Ω)X)
: 我似乎無法找到兩者結構的共通處以進一步化簡,因為 X 不是 square matrix
: 試了很久也無法將兩者相減的矩陣寫出一個類似 a'Ma>=0 的型式
: 不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick?謝謝
--
無異曲線在無異個什麼鬼
--
Tags:
經濟
All Comments

By Caitlin
at 2010-10-29T22:59
at 2010-10-29T22:59

By Una
at 2010-10-30T23:56
at 2010-10-30T23:56

By Harry
at 2010-11-03T14:48
at 2010-11-03T14:48
Related Posts
GLS Efficiency

By Barb Cronin
at 2010-10-26T10:23
at 2010-10-26T10:23
聰明?

By Irma
at 2010-10-26T10:21
at 2010-10-26T10:21
聰明?

By Quanna
at 2010-10-26T09:40
at 2010-10-26T09:40
聰明?

By Quanna
at 2010-10-26T07:48
at 2010-10-26T07:48
聰明?

By Harry
at 2010-10-26T06:23
at 2010-10-26T06:23