GLS Efficiency - 經濟

Genevieve avatar
By Genevieve
at 2010-10-26T10:49

Table of Contents

Let Omega^{-1} = P'P, in which P is invertible.
Let Z = P'^{-1} X.

var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
= X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
= X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
= X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.

Q.E.D.

※ 引述《navarra (Maestoso)》之銘言:
: 在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank,
: 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity),
: 則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X),
: 而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
: (此處的 ' 表示矩陣轉置,inv 表示反矩陣)
: 為證明此種情況下,GLS 估計式比 OLS 估計式更具效率,
: 我必須證明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS),
: 也就是上述兩個矩陣相減至少是一個 positive semidefinite matrix
: 現在的問題是:OLS 的部分有一個 (X'ΩX),GLS 的部分則是 inv(X'inv(Ω)X)
: 我似乎無法找到兩者結構的共通處以進一步化簡,因為 X 不是 square matrix
: 試了很久也無法將兩者相減的矩陣寫出一個類似 a'Ma>=0 的型式
: 不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick?謝謝

--
無異曲線在無異個什麼鬼

--
Tags: 經濟

All Comments

Caitlin avatar
By Caitlin
at 2010-10-29T22:59
push!
Una avatar
By Una
at 2010-10-30T23:56
我也推 讓我懷念起唸Greene的碩一歲月...XD
Harry avatar
By Harry
at 2010-11-03T14:48
我不太確定需不需要 transpose, 不過想法是這樣.

GLS Efficiency

Barb Cronin avatar
By Barb Cronin
at 2010-10-26T10:23
在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank, 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity), 則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(Xand#39;X)*(Xand#39;ΩX)*inv(Xand#39;X), ...

聰明?

Irma avatar
By Irma
at 2010-10-26T10:21
※ 引述《ecogame (卒攻王側)》之銘言: : 面壁思過數天,覺得不吐不快. : 改天申請個部落格,繼續批判,歡迎捧場. : ---- : 許多職業棒球選手知道怎麼揮棒,但是不一定能夠告訴你怎麼揮棒. : 相反的,許多物理學家可以告訴你揮棒的內在機制,甚至於寫一篇博士論文, : 但是把他放進球賽,這場球 ...

聰明?

Quanna avatar
By Quanna
at 2010-10-26T09:40
之前的文章除了〔爛〕以外,無話可說,內容重複不說,引用文獻竟然沒有說明或沒念過, 不過我應該沒有砍到任何一棵數. 但追求完美的我,還是通通將其刪除,重新在寫. 改天申請個部落格,繼續批判,歡迎捧場. ---- 許多職業棒球選手知道怎麼揮棒,但是不一定能夠告訴你怎麼揮棒. 相反的,許多物理學家可以告訴你揮 ...

聰明?

Quanna avatar
By Quanna
at 2010-10-26T07:48
非常同意你所說的 人生在追求效用極大時,的確要停下腳步 古時文人可以觀賞明月、乘著涼風而感到非常快樂 現在的人有許多娛樂、物質時,有時那種愜意感卻仍不如古人 人類科技不斷進步,但是效用函數也在改變 我們習慣更高水準的生活後 就需要投入更多的物質,來達到同樣的效用 因為已經麻痺了。 所以追求國民所得成長 ...

聰明?

Harry avatar
By Harry
at 2010-10-26T06:23
下面幾句是菜根譚裏的經典名言之一: 琴書詩畫,達士以之養性靈,而庸夫徒賞其跡象;山川雲物,高人以之助學識,而俗子徒 玩其光華。可見事物無定品,隨人識見以為高下。故讀書窮理,要以識趣為先。 姜女不尚鉛華,似疏梅之映淡月;禪師不落空寂,若碧沼之吐青蓮。 廉官多無後,以其太清也 ...