GLS Efficiency - 經濟

By Barb Cronin
at 2010-10-26T10:23
at 2010-10-26T10:23
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在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank,
且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity),
則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X),
而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
(此處的 ' 表示矩陣轉置,inv 表示反矩陣)
為證明此種情況下,GLS 估計式比 OLS 估計式更具效率,
我必須證明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS),
也就是上述兩個矩陣相減至少是一個 positive semidefinite matrix
現在的問題是:OLS 的部分有一個 (X'ΩX),GLS 的部分則是 inv(X'inv(Ω)X)
我似乎無法找到兩者結構的共通處以進一步化簡,因為 X 不是 square matrix
試了很久也無法將兩者相減的矩陣寫出一個類似 a'Ma>=0 的型式
不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick?謝謝
--
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