GLS Efficiency - 經濟

在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中，若 E(u|X)=0，X 也 full rank，

且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity)，

則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X)，

而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)

（此處的 ' 表示矩陣轉置，inv 表示反矩陣）

為證明此種情況下，GLS 估計式比 OLS 估計式更具效率，

我必須證明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS)，

也就是上述兩個矩陣相減至少是一個 positive semidefinite matrix

現在的問題是：OLS 的部分有一個 (X'ΩX)，GLS 的部分則是 inv(X'inv(Ω)X)

我似乎無法找到兩者結構的共通處以進一步化簡，因為 X 不是 square matrix

試了很久也無法將兩者相減的矩陣寫出一個類似 a'Ma>=0 的型式

不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick？謝謝


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