Cournot duopoly model - 經濟

※ 引述《bearching (Pandora`s Box)》之銘言：
: ※ 引述《shorthaircat (短毛貓)》之銘言：
: : Q1=a-P1-cP2 Q is quantity P is Price
: : Q2=a-cP1-P2
: : 1>= c>0
: : For what value of "c" can we invert the demand functions to
: : obtain P1 and P2 as "demand functions of Q1 and Q2" ?
: : Derive the total revenue functions?
: : TR1(Q1,Q2)=P1(Q1,Q2) *Q1
: : 想問這題該如何著手是好呢
: : 有點沒頭續QQ 謝謝
: 這是一個商品是有水平異質的模型 想找paper的話詳見 Singh and Vives (1984)
: 商品有水平差異是什麼差異? 舉個例子，比如說Ipod nano有很多種顏色
: 對你來說綠色跟藍色是有差異的話，那就是這個模型想要傳達的意思

邊好像有點奇怪。

假設１商品是藍色，２商品是綠色，且兩商品售價不同，那麼藍色價格如果上升，

那麼綠色的需求量不是應該增加嗎？但是從原ＰＯ所給的需求函數來看似乎不是如

此耶...似乎不論哪個價錢升高，對任意商品的需求量都會下降。

換句話說，藍色價格提高了，綠色價格不變，但是綠色和藍色需求一起減少了。


: 也因為差異只有一點點，所以c小於1 這個會影響到你的決策，但不會差太多


我在想，C會不會是代表消費者的傾向，屬於給定的固定數值。


: OK現在來處理你的題目，題目說要做Cournot 競爭
: 所以要先把需求函數變成反需求函數會比較好處理
: 你用Cramer's Rule處理會比較好做
: | 1 c | | P1 | | Q1 |
: | c 1 | | P2 | = | Q2 |
: 這樣子一定會得到 P1=b-Q1-eQ2 的形式
: P2=b-Q2-eQ1
: b跟e就請你算一下吧~

我算在下面。

: 那現在開始求revenue，請記得Cournot的定義是什麼，Cournot是指對手的猜測變量
: 為0，也就是說你在極大化利潤的時候，對手是不會動的
: 所以要怎麼算呢? 其實你給的式子就是答案了，只不過你沒有對他微分
: TR1=P1*Q1=(b-Q1-eQ2)*Q1
: TR2=P2*Q1=(b-Q2-eQ1)*Q1
: 第一個廠商要決策的是Q1 第二個廠商要決策的是Q2，所以TR1對Q1微分 TR2對Q2微分
: dTR1/dQ1=b-2Q1-eQ2=0
: dTR2/dQ2=b-2Q2-eQ1=0
: 然後再做Cramer's Rule
: |2 e| |Q1| |b|
: |e 2| |Q2| = |b|
: 所以就可以得到Q1=Q2=(1/(4-e^2))*(2-e)*b=b/(2+e)

好像算的不太一樣...


: 這個題目也可以出Bertrand競爭就用你給的需求函數做，建議做看看
: 然後也可以加上廠商有個邊際成本k(就是TR1=(P1-k)Q1)
: 甚至最一般化的情況P1=a-bQ1-cQ2
: P2=e-fQ1-gQ2 ,0<=b,c,f,g<=1
: 都可以算看看 其實方法都一樣，然後要記得Cournot跟Bertrand
: 或者Stackelberg的定義是什麼，這樣類似的問題都會迎刃而解了


將P1用Q1,Q2的方式來表達。

由題目:

P1 = a - Q1 - cP2

p2 = a - Q2 - cP1代入P1得:

P1 = a - Q1 - c*(a - Q2 - cP1 )

= (1-c)a - Q1 + cQ2 + c^(2)*P1

=> ( 1-C^(2) ) P1 = (1-c)a - Q1 + cQ2

=> P1 = [(1-c)a - Q1 + cQ2 ] / (1- C^(2))


或許C值是類似消費者偏好的東西，屬於一給定的數字，而P與Q之實際數值，

則由得知a,c後代入求解。



現在跳解COURNOT。



假設兩廠商生產皆無成本，固利潤函數即是TR。

TR1 = P1*Q1 = [ (1-c)a*Q1 - Q1^(2) +cQ1Q2 ] / (1 - c^(2) )

作一階求極值：

dTR / dQ1 = [ (1-c)a -2Q1 + cQ2 ] / (1-c^(2)) = 0

得 Q1 = [ (1-c)a + cQ2 ] / 2

再由COURNOT的特性加上相依方程式得知 Q1 = Q2。

代回上式得：

　　　　　Q1 = Q2 = (1-c) a / (2-c) 得解。

再由需求函數，P1 = a - Q1 - CQ2

= a*( 1 - c + c^(2) ) / (2-c) = P2


=====================================================


請問一下原PO，需求函數真的沒有抄錯嗎？




--