continuity - 經濟

※ 引述《toysrus (城主)》之銘言：
: 這樣的想法是倒果為因的
: 並不是因為我們希望效用函數有什麼性質 而回過頭去假設偏好有什麼性質
這是公理系統的建構方式，先有許多定理及性質，再回過頭找可演繹出這些定理的
基本性質，把他們當作假設或公理，這無所謂倒果為因吧。不然就是，倒果為因是
理論建構的正常現象。

在經濟學裡，許多極強的偏好假設其合理性來源都是如此。
像是傳遞性，單就性質來看，絕對是一個極強的假設
A=B B=C .......Y=Z
所以一杯清水=加一滴紅酒的清水=加兩滴紅酒的水 ......=滿杯紅酒
純就假設來看是不合理的，但因為需要這個假設 才能讓效用函數與實數系一致
所以才使用該假設
而偏好本身並無法提供充足的理由說明其合理性

: 所謂的偏好連續性 指的是偏好不應該有跳動(jump)
: 亦即 如果一個序列 (Xn,Yn) 對所有的 n
: Xn 弱優於(weakly prefer) Yn 且Xn→X Yn→Y

偏好本身應該只包括二元排序，不需要有商品空間上的metric（距離概念）

但這邊不論妳用極限、或開集去定義連續都需要有metric的想法
不然無所謂很靠近和收斂
可是這個假設等於要agent能比商品間的距離，甚至還要滿足三角不等式
這可不是偏好結構本身該有的性質
那是為了效用函數在實數系上操作方便，所增列的假設

再來，假設如果我有一商品空間是W，有一組頗合理的二元排序，但沒有W上的距離概念，
這時W可以是一組合理的偏好嗎？
如果可以是，那這時候(1)在缺乏距離的W上能談連續嗎？
如果不能，為什麼連續會是偏好本身該有的性質？

又，那兩個定義都把W上的點擺在R^n上
照理說，這只是個更名的動作，用R^n上的地址取代原來商品的名稱
而任意的一對一更名都應該不影響其偏好的性質
但為什麼他們居住的地址會跟它們之間的排序有關係（住很近的排序要很像）
如果不是為了讓效用函數易於操作，我也想不太出理由為什麼要這樣....
我為什麼不能把商品排序差異大的排在一起，讓他們跳來跳去

一點想法及疑問 請指正


: 則偏好的連續性質要求 X 也弱優於Y (見MWG, p46, Def 3.C.1)
: 這樣定義告訴我們 若 Xn 弱優於 Y (亦即 Xn 屬於 upper contour set)
: 則 X 也弱優於 Y (亦即 X 也屬於 upper contour set)
: 而這正是 closed set 的定義
: 同理可証 lower contour set 亦為 closed set
: 反之可證 若upper contour set 與 lower contour set 均為 closed set
: 則偏好滿足上述定義
: 因此 ninmit大提到 upper contour set 與 lower contour set
: 均為 closed set 的定義其實就是偏好連續性的等價敘述(iff)
: ※ 引述《onechina ()》之銘言：
: : 我想妳要問的是為什麼要這樣定義吧
: : 我們起始關心的是偏好，不是實數，但偏好難以操作，所以想把它透過效用函數
: : 轉成實數，而且希望這個效用函數有好的函數上的性質，如連續!
: : 那就需要對偏好做一些假設，希望他對應的效用函數會有連續的性質
: : (1) 當{x:x>=y}是closed，表示對應效用函數會有上連續upper-semicontinuous(usc)
: : (2) 當{x:x<=y}是closed，表示對應效用函數會有下連續lower-semicontinuous(ulc)
: : 兩個加起來，就有連續效用函數了（前提是偏好要有自反性、遞移、完整)
: : 稍微解釋一下，
: : u(.)在x usc 的意思是 對任意ε>0
: : 都存在一半徑為r的開集N(x,r) 使得 u(y)<u(x)+ε對所有y屬於N(x,r)^X ^是交集符號喔
: : u(.)在x lsc 的意思是 對任意ε>0
: : 都存在一半徑為r的開集N(x,r) 使得 u(y)>u(x)-ε對所有y屬於N(x,r)^X
: : (1)的說明：
: : 假設{x:x>=y}是closed，以及u在某個點x上不是usc
: : 那麼存在ε，對任意r，都存在y屬於N(x,r)^X 使得 u(x)+ε<=u(y)
: : 把r設成1/n 並把這些y取成一個序列yn，那麼這個序列的極限就會是x
: : 因為{x:x>=y}是closed，所以x滿足u(x)+ε<=u(x)
: : 矛盾!
: : 就知道{x:x>=y}保證u(.)上連續
: : (2)也一樣
: : usc + lsc 保證連續 應該不用解釋吧

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