continuity - 經濟

這樣的想法是倒果為因的

並不是因為我們希望效用函數有什麼性質 而回過頭去假設偏好有什麼性質


所謂的偏好連續性 指的是偏好不應該有跳動(jump)

亦即 如果一個序列 (Xn,Yn) 對所有的 n

Xn 弱優於(weakly prefer) Yn 且Xn→X Yn→Y

則偏好的連續性質要求 X 也弱優於Y (見MWG, p46, Def 3.C.1)

這樣定義告訴我們 若 Xn 弱優於 Y (亦即 Xn 屬於 upper contour set)

則 X 也弱優於 Y (亦即 X 也屬於 upper contour set)

而這正是 closed set 的定義

同理可証 lower contour set 亦為 closed set

反之可證 若upper contour set 與 lower contour set 均為 closed set

則偏好滿足上述定義

因此 ninmit大提到 upper contour set 與 lower contour set

均為 closed set 的定義其實就是偏好連續性的等價敘述(iff)


※ 引述《onechina ()》之銘言：
: ※ 引述《ninmit (silent all the years)》之銘言：
: : 關於連續 (continuity) , 看了很久還是不懂, 所以想請教各位先進.
: : 在 Jehle and Reny (p.8, 2001), 定義 continuity 為
: : For all x belongs to R(n)+, the "at least as good as" set >= (x), and
: : the "no better than" set <=(x), are closed in R(n)+.
: : 然後, 在 Varian (p.95, 1992) 定義則是
: : For all y in X, the sets {x:x>=y} and {x:x<=y} are closed sets.
: : It follows that {x:x>y} and {x:x<y} are open sets.
: : 在 Open set 和 Closed set 方面我都懂. 我的問題是:
: : 為什麼兩個 closed set 就會形成連續?
: : 這是否在說明: 以 Jehle and Reny 的圖 1.2 (p.9) 來說明, 因為 x 是 better set 和
: : worse set 的交集, 然後 better set 和 worse set 都是 closed, 所以 x 所形成的集合
: : 是連續??!!
: 我想妳要問的是為什麼要這樣定義吧
: 我們起始關心的是偏好，不是實數，但偏好難以操作，所以想把它透過效用函數
: 轉成實數，而且希望這個效用函數有好的函數上的性質，如連續!
: 那就需要對偏好做一些假設，希望他對應的效用函數會有連續的性質
: (1) 當{x:x>=y}是closed，表示對應效用函數會有上連續upper-semicontinuous(usc)
: (2) 當{x:x<=y}是closed，表示對應效用函數會有下連續lower-semicontinuous(ulc)
: 兩個加起來，就有連續效用函數了（前提是偏好要有自反性、遞移、完整)
: 稍微解釋一下，
: u(.)在x usc 的意思是 對任意ε>0
: 都存在一半徑為r的開集N(x,r) 使得 u(y)<u(x)+ε對所有y屬於N(x,r)^X ^是交集符號喔
: u(.)在x lsc 的意思是 對任意ε>0
: 都存在一半徑為r的開集N(x,r) 使得 u(y)>u(x)-ε對所有y屬於N(x,r)^X
: (1)的說明：
: 假設{x:x>=y}是closed，以及u在某個點x上不是usc
: 那麼存在ε，對任意r，都存在y屬於N(x,r)^X 使得 u(x)+ε<=u(y)
: 把r設成1/n 並把這些y取成一個序列yn，那麼這個序列的極限就會是x
: 因為{x:x>=y}是closed，所以x滿足u(x)+ε<=u(x)
: 矛盾!
: 就知道{x:x>=y}保證u(.)上連續
: (2)也一樣
: usc + lsc 保證連續 應該不用解釋吧

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