關於預期效用函數與微分方程解法 - 經濟

※ 引述《coolbetter33 (香港3345678)》之銘言：
: ※ 引述《ItsTimeToGo (叭啦叭叭叭)》之銘言：
: : 因為不會解微分方程
: : 所以無法解出效用函數的通解
: : 當u(w)為CRRA時
: : u"(w) a
: : Rr(w)=------=---
: : u'(w) w

這邊少個負號，應該是-u"(w)/u'(w)


: : 其中a為常數
: : w^(1-a)
: : 該怎樣才會解出u(w)=---------
: : 1-a
: : 拜託各位高手了
: let u'= k(w) so that k'(w) a dk/dw
: ------- = ----- = ----------
: k(w) w k(w)
: 解此一階O.D.E
我補充一下過程

- k'(w)/k(w)=a/w ====> -(dk/dw)/k(w)= a/w =====> dk/k=-a(dw/w)

=======>dlnk=-a dlnw -a
兩邊積分獲得 lnk=-alnw+c ,然後等式兩邊再取exponential，可獲 k=Cw

: a
: 得出　k(w) = C w , 其中C是任異常數
: (a+1)
: 積分 k(w) = u(w) = w
: C ------- + C* ,其中C,C*任意常數
: a+1

積分 k可獲得 [ C/(1-a)]w^(1-a);就是答案

網友的解題真是厲害，讓我多學。 b
我原本的想法是假如已知是CRRA的效用函數，他一定是長得像這樣 Cw
C是任一常數，b是待解參數,將他微分，獲得
b-1 b-2
u'(w)=bCw , u"(w)=b(b-1)Cw

他若是解，一定符合 (1-b)/w=a/w,
就可獲得 b=1-a;
我大概只解到這裡
峰兒


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