關於補償變量與對等變量 - 經濟

※ 引述《TRob (真男人)》之銘言：
: 想請問各位有關在比較當價格上漲時
: 補償變量 對等變量 消費者剩餘變動之變化關係大小時
: 為何結論會與價格下跌相反？
: 我的直覺是。假設價格上漲
: 其分別積分出來的消費者剩餘面積不是跟價格下跌時的面積都是同一塊嗎？ 所以比較時結論豈不是應該相同？
: 想請問各位我哪裡想錯了 感謝！

關於消費者剩餘面積部分,
在單財貨的狀況下,
需求函數任意價錢P下願意採購的y, 形成P(y)與y(P)
消費者剩餘總面積= y(P) dP (其中P從成交價積到無限大),
當供應線改變致成交價上升時,同樣的需求函數積出來的面積會減少
當供應線改變致成交價下降時,同樣的需求函數積出來的面積會增加

隱藏在需求函數背後的其實是財貨的效用U(y),
假定對消費者來說每單位U他願意花k的錢購買,
給定P,U(y)下,消費者願意花的總成本kU(y)而實際市場成本C=Py
消費者剩餘可視為消費者利潤=kU(y)-Py
其最大值發生在KU'(y)=P時,故消費者需求曲線P(y)=KU'(y)
若邊際效益U'(y)遞減P值會隨y上升而下降
成交價Pe時消費者利潤kU(y)-Py=(KU'(y)-Pe)dy=(P-Pe)dy
該面積與y(P) dP相同,只是此處是延dy積分

在雙財貨的情況下,同時有y1和y2,而不同的P1,P2相對價格會有不同y1和y2產生,
假定其中P2價格不變,P1價格上升,
直覺上(若y1,y2間替代性很弱),y1 dP1 積出來的消費者剩餘一定會減少
反之P1價格下降消費者剩餘一定會增加
而當二者等比例上升價格時,如P1,P2同樣變兩倍,
不管是用 y1dP1 或 y2dP2 都會有相同結論

至於如何量化,下面是在下的想法
當二者有替代性時用 Y1dP1 或 Y2 dP2 都會有爭議,
故可考慮選用效用的概念
給定P1,P2,U(Y1,Y2)下,
消費者願意花的總成本kU(y1,y2)而實際市場成本C=P1y1+P2y2
消費者剩餘(利潤)π=kU(y1,y2)-(P1y1+P2y2)
最大利潤時須dπ=0, 則可求出P1,P2下之最佳y1,y2
價格變化導致預算,效用必須至少改變其一
預算不變而效用改變時,消費者剩餘kU-C隨效用改變
效用不變而預算改變時,消費者剩餘kU-C會預算改變
維持在舊效用線下之預算改變為補償變量
維持在新效用線下之預算改變為對等變量

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