賽局問題一問 - 經濟

※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 但是今天看到的題目說,如果推廣成一圓O與四個廠商a,b,c,d呢?
: (假設只能從圓O的邊界作運輸,並假設消費者均勻分佈在圓周上,其他基本假設同上題)
: 那麼均衡為何?
添補假設以確保 N.E. 存在性：
假如某廠商移動位置不會超過原有位置的效益，則待在原來的位置。
（處理起來比較單純，結論也比較簡潔。）
如此有無限多組 N.E.
N.E. 充要條件為：
任兩相鄰單弧長和 ≧ 任一段單弧長
（四點依序間隔出的四段弧稱為單弧。若兩點重合，單弧長度視為零。）
且四廠商不重合。


解釋：

0. N.E. 存在性：這個不易套效用函數形式說明，直接找，找到就很好確認是 N.E.

1. 效用函數可用弧長來表示。為簡化說明，底下以[ab]表示單弧長ab，[abc]表示
　 弧長abc，對其他弧長作類似記號描述。設圓周長為1。
假定 a,b,c,d 所在位置已構成 N.E. 他們隨時準備改變現狀。

2. 考慮 b 的想法：
1) b 在兩廠商之間，不妨假定在 a,c 之間：
假如我在 a,c 間游走，收益為 [abc]/2，因為效益不變，所以我不會移動；
假如我走到 c,d 之間，收益為 [cd]/2 ;
假如我走到 d,a 之間，收益為 [da]/2 ;
假如和 a 站在一起平分收益，收益為 [da]/4 + [abc]/4 ;
假如和 c 站在一起平分收益，收益為 [abc]/4 + [cd]/4 ;
假如和 d 站在一起平分收益，收益為 [cd]/4 + [da]/4 ;
　我維持現狀的充要條件是
　 [abc] ≧ [cd], [da], ([da]+[abc])/2, ([abc]+[cd])/2, ([cd]+[da])/2
<=> [abc] ≧ [cd], [da]
<=> [ab]+[bc] ≧ [xy], x,y 是任兩相鄰廠商　(*)
2) b 與其他廠商在同樣位置，不妨設 b,a 同位：
若有第三個廠商，設為 c，與 a,b 同位。
　 若 d 與 a,b,c 不同位，則 a,b,c 效益是(1/2)/3=1/6 ; 然而， d 與 a,b,c
間隔出的兩弧中，必有一弧長 ≧ 1/2, b 在弧內任一點效益成為 1/4, 因此
不會維持現狀；若 a,b,c,d 同位，效益皆為 1/4, b跑到其餘任一點效益升為
1/2, 亦不會維持現狀。所以超過兩點位於同處，必定不是 N.E。
　 特別說明，三點（a,b,c）同位的情況：[ab]+[bc] = 0 < [cd] 不滿足(*)
若 a,b 不再與其他廠商同位：
　 討論可知 N.E 充要條件為 [ac] (=[bc]) =[bd] (=[ad]) ≧ [cd], 此式可看作
　 [ac] (=[bc]) = [ab]+[bc] ≧ [da], [cd]
與 [bd] = [bc]+[cd] ≧ [ad] 的並。
3. 對 a,c,d 作相同推理後取並集，N.E. 的充要條件為： a,b,c,d 不全同位；
[xy]+[yz] ≧ [zw], x,y,z,w 取自a,b,c,d,
即任兩相鄰單弧長和 ≧ 任一段單弧長。


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無聊的數學模型，嚴謹寫下來卻很麻煩……我花太多時間了，希望此為定稿。
動態模型比較有趣，但也不容易對應到日常結果。
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