經濟數學 Hoy et al. 第四章讀後感 - 經濟

Hoy et al. 2nd ed. (2001) 4.3 提到 intermediate value theorem
(ivt) 時, 在 p.144~148 特別提到 ivt 保證了許多經濟模型的均衡存在.
我個人讀到 ivt 也不是第一次了, 但從來沒有想過 ivt 保證了均衡成立,
讀到此處, 真是令人拍案叫絕, 頗有茅塞頓開之感.

有一個我個人認為可以供各位板友思考之處: Hoy et al. (2001) 在
p.117 的 def. 4.3 和 4.4 定義 continuity, 茲抄錄 def. 4.4 如下:

A function f(x), which is defined on an open
interval including the point x = a, is continuous
at that point if there is some delta > 0 such
that | f(x) - f(a) | < epsilon, whenever
| x - a | < delta for any epsilon > 0.

其中 "which is defined on an open interval including the point
x = a" 看似多餘, 但若拿掉這個前提 (例如, Rudin (1976) 的 p.85 並未
要求 f(x) 定義在 open interval), 那麼 f(x) 可以定義在一個包括數個
isolated points 的集合之上, 而不違背 continuity 的性質 (Rudin 的
p.86 有較詳細的說明).

若不要求 f 的 domain 為 open interval, ivt 的前提: f(x) is a
continuous function on the closed interval [a, b] and f(a) ~= f(b)
就顯得更為重要. 因為一個定義在許多 isolated points 上的函數可以既
是連續的, 又使得 ivt 不成立.

草草翻閱 Hoy et al., 由於自己讀書不求甚解, 思索許久而無所得,
重新細讀才發現自己浪費了不少時間在想一個定義不清的問題. 就放在板
上供板友們參考吧!

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