有過一個成本問題的證明 - 經濟

※ 引述《nickmeteora (甚麼事都叫我分心)》之銘言：
: 想請問一下板上的各位
: 要怎麼證明長期成本一定低於短期成本呢
: 之前請教了一些同學　
: 蠻多人都說設一個例子　然後用包絡定理去證明
: 不過這樣感覺好像怪怪的
: 因為包絡定理不就是先用了長期成本必小於短期成本這個前提來堆導的嗎
: 這樣好像用包絡定理來證明在邏輯上好像怪怪的說
: 有點用結果來證明原因的感覺 囧>
: 不知道有沒有比較好的做法呢
: 麻煩大家了　
: 如果小弟有什麼錯誤的觀念也煩請各位指教＞”＜

設 L 為短期可變動要素 K 為短期不可變動要素

短期成本最小化

min pL * L + pK * K' --------------------- (1)
st Qo = f(K', L)

=> L = g(Qo , K') => 最適的 L 為一定值 L' => 故 K* = K' L* = L'

又在作長期成本最小化時

min pL * L + pK * K ---------------------- (2)
st Qo = f(K , L)

能最小化成本的 L , K 組合
需要滿足一階條件

1.MPL / MPK = pL / pK
2.Qo = f(K , L)

=> K* = K" L* = L"

*反之不滿足一階條件者，不是能使長期成本最小化成本的L,K 組合。

因此在上述短期成本最小化時的 L' K' 只能確定滿足第二個的一階條件式
而無法確定是否滿足第一個條件式。

所以L' K'帶入第(2)式時必大於等於最適K" L" 帶入第(2)式的結果，
又L' K'組合帶入第(2)式時 等同於帶入第(1)式的結果，
因此短期成本必大於或等於長期成本。


--------------------------------------------------------------------

這邊在數學上可能不夠嚴謹，不過應該可以算用數學解釋了吧。




--