數學概念問題 - 經濟

※ 引述《bournetique (bournetique)》之銘言：
: 想問個數學概念問題, 是在唸經濟學paper時的疑惑...
: 我把問題抽象化如下:
: 兩個一階條件:
: f(x,y;a,b)=0 (1)
: g(x,y;b,c)=0 (2)
: 想像x,y是變數, a,b,c是參數, 故由上兩式可以決定x*與y*
: x*(a,b,c)
: y*(a,b,c)
: 一般比較靜態會求一些諸如dx*/da的正負號等等...
: 但是我看的那篇paper, 在寫出(1),(2)式之後, 以(1)式對x,y進行全微分
: 得到了例如 dx/dy>0 之類的結果
: 我的問題就是這裡, 如果x與y都是變數, 針對(1)的全微分是什麼意思? 又要如何解釋?
: 數學概念太差, 請各位指導一下... 感謝...

綜合一下:

我猜你所看的文章中的 dx/dy, 不是你想的 dx*/dy*; 而
是如我第一篇回覆的, 只是個別方程式固定參數 a, b, c
時 dx/dy 的關係.

而由 f=0 及 g=0 解出的均衡點 (x*,y*) 是 a, b, c 的
函數. 除非僅一個參數變動, 因此 x*, y* 隨這參數的變
動而在平面上一條曲線變動, 才有 dx*/dy*. 若有兩個參
數同時變動, 則 (x*,y*) 是在一曲面上變動.

就 dx/dy 而言, 參數 a, b, c 固定時, f(x,y;a,b,c)=0
是一條曲線,可用隱函數微分法求得 dx/dy 或 dy/dx, 也
可用全微分, 如你寫的. 而其意義如我第一篇回覆寫的:
df(x,y) 是 x, y 同時變化時 f(x,y) 的變化近似值.
同理可求得 g(x,y;a,b,c)=0 曲線之 dx/dy 或 dy/dx.

另一方面, (x*,y*) 的關係由 f=0 及 g=0 聯合定義, 因
而在僅一個參數變動時, 也可導出 dx*/dy*. 此 dx*/dy*
與前述由 f=0 或由 g=0 導出之 dx/dy 是不同的.


例如 f 對應某財貨之需求, g 是其供給, x 是價,y 是量,
而 a 是所得. 則
在 f=0 上, 固定 a, dx/dy<0;
在 g=0 上, 固定 a, dx/dy>0.
而所得 a 提高, 需求增加,供給不變. 正常財貨的均衡點
(x*,y*) 往右上移. 此時可得 dx*/dy*>0.

若 a 是另一因素, 例如貨物稅,對供需的影響不同於所得,
因此 (x*,y*) 的軌跡曲線不同, dx*/dy* 當然也不一樣.

因此, 在考慮參數變化的效果時, 可能應考慮的是如你文
中提到的 dx*/da, dy*/da 之類的東西, 而非 dx*/dy*.
但不管要計算 dx*/da, dy*/da 或 dx*/dy*, 都仍可利用
對 f=0 與 g=0 之全微分解之. 注意要解出這些量, 一次
都只能假設一個參數在變.



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