政大經濟考古題 - 經濟

※ 引述《qbaow (白海豚)》之銘言：
: ※ 引述《chris1 (小刀)》之銘言：
: : 來源: (例如: XX 年度高考, XX 年度研究所考)
: : 98政大經濟
: : 科目:
: : 經濟學
: : 問題:
: : 請用數學證明或是說明在固定的生產數量之下，長期的生產總成本一定會小於或是
: : 等於短期的生產總成本 (僅用文字或圖型說明者，不予計分)
: : 我的想法:
: : 本來是想按照課本上用畫圖的，LTC線上的點會切到STC，然後在不同的K下，LTC會小於
: : STC..不過題目有限制了 希望有高手解答
: 我數學解到一定程度就解不下去了
: 麻煩高手幫忙繼續下去
: 假設: STC=wL+rK 此K為常數
: LTC=wL+rK 此K為變數
: Q=L^a * K^(1-a) CD生產函數 1>a>0
: 中間我直接省略 太長了
: 導出後 STC=w * Q^(1/a) * K^[(1-a)/-a] + rK
: LTC=w^a * r^(1-a) * Q * {[(1-a)/a)]^(-1+a) + [(1-a)/a]^a}
: 到這邊就不知如何解下去了
: 如果偷懶令w=r=K=1 a=1/2 的話 可以輕鬆消掉全部常數
: 變成 STC=Q^2 + 1
: LTC=2Q
: STC-LTC=Q^2 - 2Q +1=(Q-1)^2 >= 0
: 短期總成本無論Q等於多少 皆大於或等於長期總成本 故得證
: 可是這樣總覺得不精確 因為算到最後還是偷懶給了常數定值
: 有沒有高手可以解惑一下 謝謝

如果我沒會錯意的話
應該可以用歸謬證法

假設生產某商品的要素為(L,K),短期生產者無法決定K的投入
定義成本函數C=wL+rK=C(L,K,w,r); g(L,K,Q)=Q-f(L,K), 其中f(L,K)是生產函數
fL > 0; fK > 0
A={(L,K):g(L,K,Q)=0}

假設存在一數量q
(1)min C(L,K,w,r)
{L,K}
s.t. g(L,K,q)=0

有一內解(L*(w,r,q),K*(w,r,q))屬於A

(2)min C(L,K',w,r) K'為常數
{L}
s.t. g(L,K',q)=0

有一內解L'(w,r,q,K')

且
min {C(L,K,w,r),(L,K)屬於A} > min {C(L,K',w,r),g(L,K',q)=0}
{L,K} {L}

(i)
若K* = K' 則從限制式可推得L* = L' (f為嚴格遞增函數)
即C(L*,K*)=C(L',K') (矛盾)

(ii)
若K*不等於K'
因為g(L*,K*,q)= 0 = g(L',K',q) 顯然 (L',K')屬於A
找到一點(L',K')使得C(L*,K*) > C(L',K')
(L*,K*)並非問題(1)的解 (矛盾)

因此可知
對於任意數量Q
min {C(L,K,w,r),(L,K)屬於A} 小於或等於 min {C(L,K',w,r),g(L,K',q)=0}
{L,K} {L}
即生產數量固定之下，長期生產成本必小於或等於短期生產成本

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