修習實變(real analysis) - 經濟

※ 引述《LoIn (茱麗安娜東京世代)》之銘言：
: 請問板上的前輩
: 實變課程(程度如下列教科書)的"主要"先修課程有哪些
: Real Analysis, by Folland, 2nd section
: Real Analysis, 3rd edition, by H.L. Royden.
: Measure and Integral by R. L. Wheeden and A. Zygmund.
您所列的那幾本課本，通常是「研究所的實變(real analysis)」，主要講的是
「測度論(measure theory)」。

在美國，一般通稱的「大學部實變(real analysis)」，相當於台灣的「高等微積分」。
美國常用的課本應該是
Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus
http://www.amazon.com/Elementary-Analysis-Calculus-Kenneth-Ross/dp/038790459X

台灣高微常用的課本則是：
Rudin, Principles of Mathematical Analysis
Marsden, Elementary Classical Analysis
(如果想知道 Ross 和 Rudin 兩者的比較，請看亞馬遜網站上的第一個評價。)

另外，比較老一點的有：(其實Rudin也很老啦，只是還很紅...)
Protter and Murray, A First Course in Real Analysis
Apostol, Mathematical Analysis
Courant and John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol.1&2
(最後這本很特別，因為是初微跟高微寫在一起，但是分成上下兩冊。)

從書名上，其實就看得出來高微跟實分析很有關係，但是頂多算是「第一課」。
Rudin 最後講到Lebesgue測度，就算是進入測度論的第一步，但也只有比較難的課本
(如Rudin)才會講到。

經博申請通常說要求「real analysis」，指的是這個。

另外，高微跟真正的拓樸學也有類似的關係：

在高微通常會講賦距空間(metric space)，然後講一些點集拓樸(point-set topology)
的東西，就是甚麼open set, closed set, compact set, convex set之類的玩意兒。

這種東西在建構消費者理論的時候很有用，也都算是拓樸學的「第一課」，
但是跟真正的拓樸學還是有一點距離。
舉例來說，compact 在 R^n 空間中跟「closed and bounded」是等價的。
但是在更抽象的空間中則否。不過在經濟理論中，多半只討論 R^n 空間，
因此不會去注重這樣的區別。

之所以高微這麼「雜」，其實跟數學史的發展有關係。
微積分這門學問，等於把所有高中以前的數學通通做個總結。
之後所有的「高等數學」，則是站在微積分的肩膀上發展下去的。

而高等微積分的課程目的，是要把微積分講清楚。
但是要把微積分講清楚，就需要用到許多日後成為高等數學各個分支的基礎部分，
所以自然就要講到一些實變、拓樸之類的東西。

舉例來說，真要把極限講清楚，最基本的是要把實數的完備性講清楚。
可是這個東西，就是分析學和代數學的分水嶺，因此就自然會跨入實分析(實變)的領域。

要把多變數微積分講清楚，就需要先弄清楚 R^n 空間的一些基本性質。
因此就會碰到一些點集拓樸，甚至是線性代數。(別以為線性代數就是算矩陣！)

以此淺見，謹供參考。

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