三種消費品效用函數齊序(Homothetic)判別 - 經濟

※ 引述《FallAugust (八月秋風)》之銘言：
: 當效用函數是： U(X,Y)時
: MRSxy=Ux/Uy = F(X/Y) 可用來判定為齊序函數
: 那如果效用函數是： U(X,Y,Z)=X^a*Y^b*Z^c 時
: 要用此判定方式的話是不是用下列
: MRSxy=F(X/Y) MRSyz=F(Y/Z) MRSxz=F(X/Z)
: 全部都成立來判定嗎?

三者有兩者也許就能判定了
當兩種商品時,F(X/Y)其實是F(X:Y)意思是只要x:y相同,Ux:Uy就會一樣
那三種商品時就變成F(X:Y:Z)只要X:Y:Z一樣而Ux:Uy:Uz也一樣就是了
而1:2:3和2:4:5一樣嗎?
要定義比例X:Y:Z就勢必要有兩個比例X/Y=h,Y/Z=k也可以是Y/Z,Z/X

不過繞著定義轉還不如考慮實用性
C=Px X + Py Y + Pz Z
U=U(X,Y,Z)
當點(x,y,z)在等C面上移動須滿足 dC= Px dX + Py dY + Pz dZ=0
當點(x,y,z)在等U面上移動須滿足 dU= Ux dX + Uy dY + Uz dz=0
再來不外乎要限等U下求最小C或者等C下求最大U,
如果Ux:Uy:Uz和Px:Py:Pz不相等,
就可能讓dU=0等U面上移動的某些(dX,dY,dZ)代入dC不等於0,而顯示該C並非極端值
故只有2者相切,Ux:Uy:Uz和Px:Py:Pz比例相等之點才能使U與C互為極端值
Px:Py:Pz固定下,相切處之Ux:Uy:Uz固定,而若Ux:Uy:Uz固定又能使X:Y:Z固定
那麼固定Px:Py:Pz將對應固定之X:Y:Z

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