一些個經範圍的問題想要問~ - 經濟

※ 引述《utahime (歌姬‧Sing)》之銘言：
: : (1)
: : Max : U(x,y) = x^a*y^b
: : s.t.: P_x*x + P_y*y = I
: : By Lagrange multipliers
: : a I
: : x= -----*----
: : a+b P_x
: 這個式子是怎麼變出來的啊 囧?!
: 我到後來把東西亂丟的結果 有跑出這個=>
: Y a Px
: --- = --- = ----
: X b Py
: 跟上列板眾提供的算式比較...感覺好像不太相干@@"
: 在不知道那個算式是怎麼變出來的情況下...
: 接下來 我也不知道要怎麼拉到"消費者均衡"了
: 請問有人可以跟我講一下"消費者均衡"的定義嗎@@"?
: 真的有點越想越糊塗了...
: 如果知道消費者均衡的定義說不定可以勉強想一下
: 但還是希望有板眾可以指點迷津一下Q__Q
基本上，消費者均衡就是消費者最適選擇
也就是在預算有限下找出使效用極大的消費組合
也就是說

Max : U = U(x,y)
s.t.: P_x*x + P_y*y = I

在這題中

Max : U = x^a*y^b
s.t.: P_x*x + P_y*y = I

Method 1:
因為是Cobb-Douglas Utility Function
任何內部解的效用都會比角解的高，所以不可能為角解
P_x
故消費者最適條件:MRSxy = ----
P_y

MU_x a*x^(a-1)*y^b a*y P_x
MRSxy = ------ = ---------------- = ---------- = -----
MU_y b*x^a*y^(b-1) b*x P_y

b*P_x
=> y = -------*x ------(*)
a*P_y

代入預算限制式
b*P_x*x
P_x*x + P_y*(---------) = I
a*P_y

解出
a*I
x = ----------
(a+b)*P_x

Method 2

By Lagrange Multipliers

▽U(x,y) = λ*[▽(Budget Constrain)]
a*x^(a-1)*y^b = λ*P_x---------------(a)
b*x^a*y^(b-1) = λ*P_y---------------(b)
再加上預算限制式:P_x*x + P_y*y = I---(c)

或是像一般經濟學的書裡寫的

Mas:L = x^a*y^b + λ*(I - P_x*x - P_y*y)

first-order condition

dL
-- = a*x^(a-1)*y^b -λ*P_x = 0 -----(1)
dx

dL
-- = b*x^a*y^(b-1) - λ*P_y = 0------(x)
dy

dL
-- = I-P_x*x-P_y*y = 0---------------(3)
dλ

由(1),(2)整理可以得到(a),(b)

(a)/(b)得到(*)
再代入預算限制式會和method 1解出相同的解

: : Total expenditure(TE) = P_x*x = a/(a+b)
: : 所以不論x的價格為何，總支出不變
: 就結果來看的話
: 能不能這樣想..
: PxX a
: ==> ----- = -----
: I a+b
: 因為總支出跟收入維持一定比例 a/(a+b)
: 所以不管x價格是怎樣 TE是不會變的
: 但是感覺上不是那麼對欸 囧...
可以
: : (2)
: : 跟第一題一樣的方法，找出x與y的需求函數
: : a*I
: : x = ----------
: : (a+b)*P_x
: : b*I
: : y = ----------
: : (a+b)*P_y
: : dx/dP_x = 0
: : dy/dP_y = 0

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