GLS Efficiency - 經濟

Quintina avatar
By Quintina
at 2010-10-27T00:39

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※ 引述《washburn (Back to school.)》之銘言:
: Let Omega^{-1} = P'P, in which P is invertible.
: Let Z = P'^{-1} X.
: var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
: = X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
: = X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
: = X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.
: Q.E.D.

感謝解惑,不過對於 I - Z (Z'Z)^{-1} Z' 為何是 p.s.d. 仍不太清楚

令 A = I - Z (Z'Z)^{-1} Z',則我可以證明 A 是 idempotent

對於一個 idempotent matrix A 與任意一個非零向量 x,

x'Ax = (Ax)'(Ax) 只是 Ax 所有元素的平方加總而已,

所以 x'Ax 恆非負,也就是 A 至少是 p.s.d.(通常會是 p.d.)

這樣應該正確吧?不知有沒有問題?

覺得一個看似應該很直觀的證明卻不是那樣容易......


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Tags: 經濟

All Comments

Anthony avatar
By Anthony
at 2010-10-28T08:43
沒錯, 就是這樣.
Ida avatar
By Ida
at 2010-11-01T10:34
這題上個禮拜剛考過,好懷念的感覺

GLS Efficiency

Genevieve avatar
By Genevieve
at 2010-10-26T10:49
Let Omega^{-1} = Pand#39;P, in which P is invertible. Let Z = Pand#39;^{-1} X. var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1} = Xand#39; Omega^{-1} X - Xand#39;X ...

GLS Efficiency

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By Barb Cronin
at 2010-10-26T10:23
在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank, 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity), 則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(Xand#39;X)*(Xand#39;ΩX)*inv(Xand#39;X), ...

聰明?

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By Irma
at 2010-10-26T10:21
※ 引述《ecogame (卒攻王側)》之銘言: : 面壁思過數天,覺得不吐不快. : 改天申請個部落格,繼續批判,歡迎捧場. : ---- : 許多職業棒球選手知道怎麼揮棒,但是不一定能夠告訴你怎麼揮棒. : 相反的,許多物理學家可以告訴你揮棒的內在機制,甚至於寫一篇博士論文, : 但是把他放進球賽,這場球 ...

聰明?

Quanna avatar
By Quanna
at 2010-10-26T09:40
之前的文章除了〔爛〕以外,無話可說,內容重複不說,引用文獻竟然沒有說明或沒念過, 不過我應該沒有砍到任何一棵數. 但追求完美的我,還是通通將其刪除,重新在寫. 改天申請個部落格,繼續批判,歡迎捧場. ---- 許多職業棒球選手知道怎麼揮棒,但是不一定能夠告訴你怎麼揮棒. 相反的,許多物理學家可以告訴你揮 ...

聰明?

Quanna avatar
By Quanna
at 2010-10-26T07:48
非常同意你所說的 人生在追求效用極大時,的確要停下腳步 古時文人可以觀賞明月、乘著涼風而感到非常快樂 現在的人有許多娛樂、物質時,有時那種愜意感卻仍不如古人 人類科技不斷進步,但是效用函數也在改變 我們習慣更高水準的生活後 就需要投入更多的物質,來達到同樣的效用 因為已經麻痺了。 所以追求國民所得成長 ...