經濟學問題 - 經濟

※ 引述《seller (selling your soul)》之銘言：
: 和前一篇發的文題目類似 但有延伸 感謝版友指教
: 如果甲消費兩樣商品 X 和 Y
: 效用函數為 U(X,Y)=9(X^1/3)(Y^2/3)
: a. 若有180張配給券(不可自由買賣)。要購買一個單位的X，
: 要現金8元外加上4張配給券；買一單位Y需付5元加上6張配給券。
: 設所得240元，商品可以無限分割，甲會選擇何種商品組合?
: p.s. 不知道預算限制式要如何改?
: 有想到180除4等於45 代表X最多買45個...etc.但實在不知道如何求
: b. 若配給券可以自由買賣，
: 每張0.5元，此人會買賣多少配給券(配給券可無限分割)?會何種商品組合?
: 甲是否會因配給券買賣而效用增加?
: 謝謝大家回答 :)


a. 這一小題用圖解，因為有兩條預算限制是分別為

8X + 5Y = 240 及 4X + 6Y = 180，因此必須符合在兩條預算限制的範圍中

↓ ↘ (因為不會在BBS畫圖，所以用口述，請見諒)

在(30,0)與(0,48)連一直線 在(45,0)與(0,30)連一直線
↘ ↙
兩條重疊區域為一四邊形

因為效用函數為 C-D ，所以由圖可知兩直線交點為效用極大點，因此兩直線解聯

立為後 X = 135/7 ， Y = 120/7 ， U = 9 * (135/7)^(1/3) * (120/7)^(2/3)

= 160.46


b. 因為券可以所得買賣，且券與錢的兌換比例為2:1所以設兩條預算限制式分別為

8X + 5Y = 240 + M M為換券後現金
4X + 6Y = 180 - 2M

因此 L = 9(X^1/3)(Y^2/3) + λ1 * (240+M-8X-5Y) + λ2 * (180-2M-4X-6Y)

By FOC

Lx = 3 * X^(-2/3) * Y^(2/3) - 8*λ1 - 4*λ2 = 0 ......(1)
Ly = 6 * X^(1/3) * Y^(-1/3) - 5*λ1 - 6*λ2 = 0 ......(2)
Lm = λ1 - 2*λ2 = 0 ......(3)
Lλ1 = 240+M-8X-5Y =0 ......(4)
Lλ2 = 180-2M-4X-6Y=0 ......(5)

由(3)知 λ1 = 2*λ2 .......代入(1)、(2)得

3 * X^(-2/3) * Y^(2/3) = 10*λ1 ......(6)
6 * X^(1/3) * Y^(-1/3) = 8*λ1 ......(7)

From (6)/(7)得 Y= 5/2 X

代入兩限制式得

41X - 2M = 480
19X + 2M = 180 ...再解聯立可得 X = 11，M = -14.5
再代回前面式子可得 Y = 27.5


因此此人會買29張券(花14.5元)，此時組合為 (X,Y) =( 11 , 27.5 )

而效用為 U = 9 * 11^(1/3) * 27.5^(2/3) = 182.36 > 160.46(原效用)

因此會因配給券買賣而效用增加。



我是這樣解的，不知道對不對，如有錯誤還請各位糾正。

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