統計套利的配對交易策略：回顧與展望 II - 財務

原文資訊

文章標題：Statistical Arbitrage Pairs Trading Strategies: Review and Outlook
出版位置：Journal of Economic Surveys (2017) Vol. 31, No. 2, pp. 513--545
原文作者：Christopher Krauss
doi: 10.1111/joes.12153
好讀連結：https://kl-wang-nas.synology.me/wordpress/archives/4079


第二節、距離法

第一小節、基準法 (Baseline Approach) –Gate, Goetzmann, and Rouwenhorst

Gatev et al. (2006) 於他們的開創性論文中引入距離法，對 1962 年至 2002 年間所有
具流動性的美國 CRSP 股票進行研究。將十二個月做為形成期的時間長度，並對每一檔股
票於形成期的數據進行標準分數化 (normalized，譯按：一般使用 normalized 應係指以
標準分數 (z-score) 進行標準化處理。)，及計算其累積報酬指數 (cumulative total
return index)；當考慮的股票數量為 n 時，使用歐式平方距離和 (sum of Euclidean
squared distance, SSD) 兩兩計算配對交易對的股票價格[1]，將有 n(n-1)/2 總可能組
合的計算。將形成期後的六個月訂為交易期，挑選出形成期中具有前二十小 SSD 的配對
交易對；當該於交易對價差偏離兩個以上歷史標準差時開倉，並於價差回歸均值、交易期
末筆或配對交易對中有股票取消上市時平倉。這種方法有著顯然的優勢：正如 Do et al.
(2006) 指出，由於 GGR 方法是經濟且無模型約束 (model-free)，這使其不會產生錯誤
設定模型與錯誤估計。該方法除易於實作與資料探勘具穩健性外，還能產生統計上顯著的
風險調整 (risk-adjusted) 超額報酬；然而，歐式平方和作為選擇配對交易的度量卻是
分析次優的。我們考慮一種理性的配對交易投資人：每次使用固定資金投入，且致力於最
大化每一配對交易對的超額報酬；即，最大化每配對交易對交易次數與其每次交易報酬的
乘積。由此可知，該投資人的目標是追求配對交易對具有能頻繁高度背離均值後回歸的價
差；換句話說，追求報酬最大化的理性投資人將尋找價差具高變異 (variance) 及均值回
歸的配對交易對，以此獲得大量開平倉交易次數與每一次的高報酬。接著，我們來說明
GGR 對配對交易對的排序邏輯如何對應到這兩目標。

價差變異 (Spread variance)

考慮配對交易對中兩實現標準分數化價格時間序列，Pi≡{pi,t}_t∈[1,T] 與 Pj≡
{pj,t}_t∈[1,T]，形成期價差變異為


2 1 ___ T 2
s ≡ --- \ {( p - p )} (1)
Pi - Pj T /__ t = 1 i,t j,t

1 ___ T 2
- (--- \ ( p - p ))
T /__ t=1 i,t j,t


形成期的 SSD 平均為


___ 1 ___ T 2
SSD ≡ --- \ (p - p ) (2)
Pi, Pj T /__ t=1 i,t j,t

2 1 ___ T 2
= s + (--- \ (p - p ))
Pi-Pj T /__ t=1 i,t j,t


很顯然的，GGR 所設想「理想配對交易對」的價差為零，執行策略於該配對將不具有任何
報酬；因依該度量所得高排名無法預期高獲利，故該度量為次優的。接著我們來觀察
GGR 領先排名群：由方程式 (2) 可知，要求低 SSD 意味著最小化 (1) 價差變異與 (2)
價差平均平方。前者隨著價差背離零值而增加，後者隨著價差平均值背離零值而增加；在
實證中，很難辨別哪一個因素對於最小化 SSD 有著較高的影響力。但 GGR 的表 2 結果
清楚表明了，當 SSD 降低時，價差變異也將降低；即，該度量傾向於選擇具有低價差波
動 (volatility) 與有限獲利潛力的配對交易對。

均值回歸 (Mean-reversion)

雖 GGR 將配對交易對的價格序列理解為 Bossaerts (1988) 中的共整合，但 Bossaerts
(1988) 基於典型相關分析 (canonical correlation analysis) 嚴謹的提出了共整合檢
定，而 GGR 卻未進行任何共整合檢定 (Galenko et al., 2012)。然而，由於高相關性
[2] 與共整合關係無關，受選擇配對交易對的高相關性可能是虛假的 (Alexander, 2001)
；基於報酬平價 (return parity) 假設的偽關係並非均值回歸，省略共整合檢定與對於
理性投資者的訴求相互矛盾——配對交易對潛在缺乏均衡關係將導致更大的價差背離風險
，從而致使策略潛在虧損可能。Do and Faff (2010) 驗證了所有基於距離挑選的配對交
易對，其中有 32% 價差背離後不回歸均值；Huck and Afawubo (2015) 則發現，共整合
挑選的配對交易對相比使用距離挑選的配對交易對有著更頻繁的均值回歸現象——即使它
們在交易期無法收斂亦如此 (請見 Huck and Afawubo (2015, Non Convergent
profitable trades, 表 3, 第 606 頁))。

鑒於上述問題，共整合檢定成為了一個更好的選擇度量；它更亦於挑選出價差具均值回歸
的配對交易對，也對於以最小平方估計的價差變異約束相對不嚴苛。Huck and Afawubo
(2015) 對於這些推論給出了實證比對的結果，表明共整合法相對距離法更加良好，其配
對交易對的價差變異是距離法的兩倍。


第二小節、延伸 GGR 樣本

Do and Faff (2010, 2012) 在使用相同股票池，僅將資料增加至 2009 年的狀況下，再
現 GGR 的方法；因未收斂價差的配對交易對數量比增加致使的策略獲利能力下降，GGR
的基準法在包含交易成本後將會很大程度變成無利可圖，故他們使用改良後的選擇標準來
對配對交易對進行識別。改良其一，在標的物的限制上，它們只允許該股票池中 48 檔
Fama-French 指定同業股票去構成配對交易對。此限制能讓配對交易對的組成更具意義與
減少偽關係，但可能錯失跨業組合；例如 Cohen and Frazzin (2008) 的發現，美國股票
市場因充斥大量客戶–供應商鏈 (customer–supplier links) 致使報酬可預期。改良其
二，挑選於形成期價差有著更高過零 (zero–crossing) 的配對交易對，使之被作為替代
共整合檢定的均值回規強度度量。此改良下，即便考慮了交易成本，依 SSD 排名的領先
配對交易群仍將存在些許獲利。雖 Do and Faff (2012) 經由檢驗了 29 種不同組合的選
擇配對交易對演算法，發現了方法易受資料探勘影響，但也顯著證實了 GGR 的發現為資
本市場異常現象。


參考文獻

Alexander, C. (2001) Market Models: A Guide to Financial Data Analysis.
Chichester, UK and New York, NY: Wiley.

Bossaerts, P. (1988) Common nonstationary components of assent prices.
Journal of Economic Dynamics and Control 12(2–3): 347–364.

Cohen, L. and Frazzini, A. (2008). Economic links and predictable returns.
The Journal of Finance 63(4): 1977–2011.

Do, B. and Faff, R. (2010) Does simple pairs trading still work? Financial
Economics 66(2–3): 271–306.

Do, B. and Faff, R. (2012) Are pairs trading profits robust to trading costs?
Journal of Financial Research 35(2): 261–287.

Do, B., Faff, R. and Hamza, K. (2006) A new approach to modeling and
estimation for pairs trading. In Proceedings of 2006 Financial
Management Association European Conference.

Galenko, A., Popova, E. and Popova, I. (2012) Trading in the presence of
cointegration. The Journal of Alternative Investments 15(1): 85–97.

Gative, E., Goetzmann, W.N. and Rouwenhorst, K.G. (2006) Pairs trading:
performance of a relative-value arbitrage rule. Review of Financial
Studies 19(3): 797–827.

Huck, N. and Afawubo, K. (2015) Pairs trading and selection methods: is
cointegration superior? Applied Economics 47(6): 599–633.


備註

1. 對於本文的其餘部分，價格均是指還原股利率後的累積報酬指數。

2. 較低 SSD 的配對交易對成份間也具有高相關性，請見第二節第三小節。

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