突然想到一個賽局 - 經濟

一、

Payoff ：零和賽局。
策略空間：「蘭」（策略代號為Apple）、「哀」（策略代號為X）
Players ：4人（注意莊家其實可以當成是Nature）
以下在不影響一般性的原則下，令莊家（H）選「蘭」！
順序 ：
1.莊家攤牌。
2.其餘三人在看到莊家牌之後，同時攤牌。
3.

if 3:1，則

賽局結束。少數派獲勝。贏家得到 1的報酬，輸家得到 0。

Else 回到Step 1

二、處理只有一回合的賽局：

令Step 3，若非 3:1，則賽局結束，所有人得到很小的正數報酬ε（令ε→0）。


Sol.

（一）

在不影響一般性的原則下，令莊家（H）選「蘭」！

則，

此時對於其他三人而言，選擇「哀」是優勢策略！！

分析：

在莊家選蘭的情況下，自己也選蘭，蘭至少得到兩票。投票結果「蘭：哀」只能
夠是 4:0、3:1、2:2。

不論是哪一種，投給蘭的報酬保證是 0：

在4:0、2:2 的情況下，得到 ε （＝0）

在3:1 的情況下，得到 0 （Real Zero）


∴投小哀可能是優勢策略。

∵對其餘三人而言，是對稱的。對稱解存在。

∴其中一個純粹策略NE為：

在看到莊家投給蘭的情況下，對應策略：

投給蘭的機率 投給哀的機率 報酬
莊家 1 0 1 （100萬元）
其餘三人 0 1 0 （Real Zero）
……1

（注意：在ε→0 時，其餘三人沒有誘因 脫離 此NE）

（二）其餘三人瞭解投給哀報酬也保證是0後，也可能投給蘭。

在看到莊家投給蘭的情況下，是否存在如下全部人投蘭的純粹策略NE呢？


投給蘭的機率 投給哀的機率 報酬
莊家 1 0 ε
其餘三人 1 0 ε

呢？

Ans：此種純粹策略NE不存在

∵因為其餘三人有人會deviate，改投哀可獨享 1的報酬(100萬元）。


（三）混和策略NE

在看到莊家投給蘭的情況下，

假定存在混和策略NE：

投給蘭的機率 投給哀的機率 期望報酬
莊家 1 0 0
其餘三人 P 1-P 0 （∵存在對稱解）

分析：

由於莊家必投蘭，因此僅需要考慮其他三人的策略。

其他三人的 最後的 贏家 此結果下的 機率
投票狀況 投票結果 贏家報酬
（輸家得0）


蘭：哀＝3:0 4:0 無 ε


蘭：哀＝2:1 3:1 投哀的人 1

蘭：哀＝1:2 2:2 無 ε

蘭：哀＝0:3 1:3 投蘭的人（莊家）0



Max [我的期望報酬]＝P＊[我投蘭的報酬]＋(1-P)＊[我投哀的報酬] ……2
p

其中：

蘭：哀 報酬
↓ ↓
我投蘭的報酬 ＝我投蘭且全部恰好四人投蘭（4:0，得到ε）
＋我投蘭且全部恰好三人投蘭（3:1，得到 0）
＋我投蘭且全部恰好兩人投蘭（2:2，得到ε）
＋我投蘭且全部恰好一人投蘭（不可能出現）

2 2
＝P ＊ε＋2P (1-P)＊0＋(1-P)＊ε

2 2
＝[(P＋(1-P)]＊ε


＝[1－2P(1-P)]＊ε ……3


※注意： 莊家 1的機率投蘭，0 的機率投哀；
其他兩人 P的機率投蘭，1-P 機率投哀。

蘭：哀 報酬
↓ ↓
我投哀的報酬 ＝我投哀且全部恰好四人投蘭（不可能出現）
＋我投哀且全部恰好三人投蘭（3:1，得到 1）
＋我投哀且全部恰好兩人投蘭（2:2，得到ε）
＋我投哀且全部恰好一人投蘭（1:3，得到 0）

2 2
＝P ＊1＋2P (1-P)＊ε＋(1-P)＊0

2
＝P ＋2P(1－P)＊ε ……4

式3 4代回2
2
期望報酬EU＝ P[1－2P(1-P)]＊ε＋(1-P)[P ＋2P(1-P)＊ε]

ε→0
2
＝(1-P)P


FOC
2
3P －2P ＝0

=>P＝0 或 2/3



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不知道有沒有想錯……

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