數學概念問題 - 經濟

※ 引述《algebra1029 (代數)》之銘言：
: ※ 引述《bournetique (bournetique)》之銘言：
: : 好像還是搞不懂耶.... 我之前的post可能不夠清楚, 再補充一下 (請參見前po)
: : 前面說的針對 f(x,y;a,b)=0 全微分這個動作, 其實隱含了x已經變成x*,y也是y*
: : 讓上式變成全等式, 才能全微分, 所以dx/dy嚴格說是dx*/dy*
: : 而我的問題是這個東西是什麼?怎麼理解? (就這一個模型的情境下, 不改變任何假定)
: 就你前面所提的，dx/dy與 dx*/dy*的關係如下
: dx*/dy* = dx/dy|x=x*,y=y*
: 這個式子 對你有沒有幫助，
: 要看你的問題是什麼
: 如果你要理解他的幾何意義
: 那就在我上篇 第二個解釋 三維空間裡的意義
: 當然 你要能 在腦子裡 「明確」的想像出那個圖


為了回應 yhliu 大大， 我舉個例子吧(原po的整個問題)

假設 f(x,y;a,b) = ax^2 + by
g(x,y;a,b) = ay^2 + bx

那 f(x,y;a,b) = 0
g(x,y;a,b) = 0
就是
ax^2 + by = 0
bx^2 + ax = 0

(一) 由兩式解出 (x*,y*)，其中一組為

x* = b/2a
y* = b/2a

(若「在這個情形下」，a,b視為常數，那x*,y*也就常數)

(另一組解為(0,0) 即 (x*,y*) = (0,0) )
(反正只是為了看意義，下面只討論 (x*,y*) = ( b/2a , b/2a) )


(二) 至於所謂的全微分 或 隱函數微分 弄出的 dx/dy 或 dx*/dy*
對 f(x,y;a,b) = 0 兩邊作全微分，可得

2axdx + bdy = 0 可得 dx/dy = -b/2ax

而所謂的 dx*/dy* = dx/dy|x=x*,y=y* = -b/[2a(b/2a)] = -1

好了，yhliu 大大叫我舉的例子 就是上面這一行，有錯請指正

(一般情形，dx*/dy* 應該會包含a,b這兩個參數，這個例子是碰巧消掉了)
(a,b在原po的問題裡，本來就是個在這個情形下視為常數的東西
在另一個情形下視為另一組常數的東西
所以，這個問題的很多運算結果裡，一般都會有a,b)


(三) 再來，若是對 g(x,y;a,b) = 0 作全微分，可得

dx/dy = -2ay/b
可得 dx*/dy* =dx/dy|x=x*,y=y* = -1

兩個剛好一樣，這是個巧合
我前文有提到，
在 f= 0 求出的 dx*/dy* 與 在 g = 0 求出的 dx*/dy* 通常不會一樣
除非它們剛好在這個「交點」上相切，此時方向一樣
這個例子，剛好出現，不管(a,b)代入什麼常數，這兩個拋物線
都會在(a/2b , a/2b)這個交點上相切，可自行試試

(四)為了驗証 兩條曲線上求出的 dx*/dy* 通常不會一樣 這件事
我們可以看 他們的 另一個交點 (x*,y*) = (0,0)
從 f = 0 這條曲線求出的 dx*/dy* = 負無限大
從 g = 0 這條曲線求出的 dx*/dy* = 0
也就是這兩條曲線在(x*,y*) = (0,0)這個交點上 剛好互相垂直(方向不同)

(五)講完了，我的事也快完了，哇…
有錯請指正，謝謝


















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