履約價與到期日的獲利機率，s&p500回測 - 理財

※ 引述《isaoinvest (isaoinvest)》之銘言：
: 選擇權清算方式:
: 到期日剩下一半之時，即清算並買入下一期間之買權。例如原本到期日是30天，
: 在第15天時清算掉，然後再買入下一個30天期的買權，用意是盡量減少「時間價
: 值衰減」的影響。

話說...雖然很多書跟網站都這麼說，但這個觀念其實不太正確。

一般常會看到的圖，at-the-money options的 Time value 跟時間的關係
大概長這樣:
https://i.imgur.com/U9Yu3t3.png

很多人看了這個圖，就會得到一個想法:
如果我持有前半段時間，在 Theta 暴增之前就賣掉
就能減少 Theta Decay

但是，這個圖繪製的假設是 ceteris paribus
在時間經過時，股價都保持不變
一開始是 at-the-money，時間經過後仍然 at-the-money

但事實上，股價隨時都在波動
買的當下 ATM 的選擇權，隔天可能就會變成 OTM 或 ITM
選擇權的 time value 的減少速度，是路徑決定的

如果固定波動率等參數
stochastic 生成股價的路徑: https://i.imgur.com/OBvQKV4.png
並用 Black-Scholes 模型定價
圖其實會長這樣: https://i.imgur.com/MC4IaFV.png
圖中的較粗黑線是路徑的平均值
平常看到的那條線，則是 time value 的上限
所有實際的路徑，都會落在那條線的下方

用更多條線平均出來
可以看到，即使稍微改變生成股價路徑的參數，大致上的形狀還是不變
https://i.imgur.com/0dI6qDA.png

也就是說
如果市場波動率不變，定價遵守 B-S 模型等等假設都成立的話 (Not exactly)
買入 ATM options 後，Time value 的期望值，前期會損失的比後期多

Reference:
Tannous, George & Lee-Sing, Clifton. (2008). Expected Time Value Decay of
Options: Implications for Put-Rolling Strategies. The Financial Review. 43.
191-218. 10.1111/j.1540-6288.2008.00191.x.

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如果你買的不是 ATM options 呢?

如果你買的是 deep ITM/OTM options
那光是看傳統的固定股價的圖
Theta decay 就不是前期減少慢，後期加快的模式

在 https://goodcalculators.com/black-scholes-calculator/
以 spot 100，strike 90，Volatility 25%，對 DTE 0~90天(0.25年)作圖
Call 的價格與 Theta: https://i.imgur.com/hlz5l5V.png

可以看到，Theta 在 0.175年左右就達到最負
最後30天，由於 time value 沒剩多少，反而沒有多少 decay 了

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以上又是假設這個，又是假設那個，反正只是理論推導
有沒有 empirical data呢?

McKeon 根據美股選擇權的實際資料，得到的圖長這樣:
(圖中的 ITM/ATM/OTM 是指一開始買入當下的 moneyness
至於之後的股價變化如何，不會改變分類 )

30 days ITM call
https://i.imgur.com/5wh35P9.png
DTE 30 ~ 1 的 time value decay 幾乎是一條直線
在最後一天還剩 30%的 time value，直接歸零

30 days ATM call
https://i.imgur.com/fNVvCjg.png
Time value 前期掉得快，後期掉得慢
看起來跟 Tannous and Lee-Sing (2008) 預測的相似
但還是有不少 Time value 是在最後一天直接歸零

30 days OTM call
https://i.imgur.com/IRtgl3k.png
跟 30 days ITM call 長得差不多

Reference:
McKeon, Ryan. (2017). Empirical patterns of time value decay in options.
China Finance Review International. 7. 10.1108/CFRI-09-2016-0108.

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