一個小問題 - 經濟

※ 引述《pig030 (東京1號ID:13)》之銘言：
: 這是因為 規模報酬的定義 你必須詳細了解的定義。
: 規模報酬的定義：當所有的投入要素，等比例增加入倍時，產出增加多少倍，其中入>0
: 規模報酬遞增，全部要素投入增加入倍，產出增加大於入倍
: 規模報酬遞減，全部要素投入增加入倍，產出增加小於入倍:
: 規模報酬遞減，全部要素投入增加入倍，產出增加小等於入倍
如果「全部要素投入增加入倍」的意思是 ，x==>入x
那其中入>0應該要改成入>1才對！

為什麼？因為這樣會矛盾！

以規模報酬遞增來說，從妳的定義出發

「規模報酬遞增，全部要素投入增加入倍，產出增加大於入倍，其中入>0」


假設一開始生產投入為x，且最多可生產出y

令入＝2，即增加投入為兩倍，照定義，這時候可產出y_ba>2y

即，投入 2x 可生產出 y_ba>2y；

接著，再以2x為起點，縮減要素投入量，令入＝0.5

這時，再代定義，可得：

x 可生產出 y* > 0.5*y_ba > y

結果，x居然可生產出y*>y了，

也就是 f(x)=f(0.5*2x)>0.5*f(2x)>0.5*2*y=y ，這顯然矛盾！

所以根本不可能存在符合上述定義的函數！


回到書本的定義：
若一生產函數為y=f(x)，x為投入，y為產出，則各種規模定義如下
規模報酬定遞增 <=> f(ax)>af(x) for all a>1
規模報酬定遞遞 <=> f(ax)<af(x) for all a>1
規模報酬定不變 <=> f(ax)=af(x) for all a>0

有幾個地方跟上面不一樣

第一，是規模遞增或遞減的部分，a>0要改成a>1，這是必要的！（ 部分原因承上）
是因為 a的大小會使 > <的關係變號
以規模報酬遞增來說好了，直覺的意義是：
擴張你的投入規模，妳會生產地較有效率
那麼當縮減妳的規模，妳會生產地較沒效率
以數學式表達上面兩句話就是：
f(ax) > af(x) for all a>1 and f(ax) < af(x) for all 0<a<1
這時候大於小於的方向就變了！
或許妳同意第一句，但第二句怎麼來？
舉個例來說就知道 左式==>右式
假設左式成立！
如果用10單位x，且最多可生產20單位y，那我們可能以5單位生產10單位y嗎？
假設可以，這表示從x=5到x=10，投入增加為兩倍，但生產量卻沒有大於兩倍
很明顯，這就違反左式的定義，所以，5單位x不可
能生產出10單位y，也就是小於10的意思
以數學表達，就是 f(0.5x)<0.5f(x)

嚴格一點的證明：
suppose y=f(x),and for any a>1 and x'=x/a
f(ax')>af(x') ,and it follows that f(x)>a*f(x/a)
which shows f(x)/a>f(x/a) for any x and a>1.
let a'=1/a ,then f(a'x)< a'f(x) for all 0<a'<1
事實上，上面的左式<===>右式 而且反方向的證明方式類似

第二，同樣地，規模報酬定遞遞也有類似地性質：
即：f(ax) < af(x) for all a>1 and f(ax) > af(x) for all 0<a<1
f(ax) < af(x) for all a>1 <==> f(ax) > af(x) for all 0<a<1


最後，規模報酬不變 我把a>1改成a>0
不過那個更改不是必要的，只是為了凸顯重點
因為無論妳寫成
f(ax)=af(x) for all a>0 或是 f(ax)=af(x) for all a>1
他們都是等價的
如果上面兩個都弄懂了，那這個結果應該是很自然的


打這些，只是要強調a>1的設定是有意義的，而不只是嚴謹不嚴謹的差別。

: 以兩要素的C-D生產函數為例：
: a b
: Q(入K,入L)=A(入K) (入L)
: a+b a b a+b
: 整理可得 Q(入K,入L)=入 AK L =入 Y
: 假設 入 不小於1的話：
: ---------------------
因為定義有瑕疵，所以這邊才會需要做假設。
而且規模遞增遞減的概念，是要對所有原先定義範圍的（入）都對才行
所以不可以再在這邊限制（入）的值。

: a+b >1 規模報酬遞增
: a+b <1 規模報酬遞減
: a+b =1 規模報酬固定
: ※ 引述《happyradio (wei瑋 忙碌的日子)》之銘言：
: : a b
: : 我想請問 當生產函數為Q=K L
: : 右上角為次方 當規模報酬固定時 為何a+b=1呢?

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