首先，請注意Solow model的假設，及經濟體系的設定。
在solow model裡面一切都是實質的商品，並沒有貨幣。而且他是一個
沒有政府設定(沒有課稅，但是可以設定有稅)，而且沒有進出口。
因此整個商品市場均衡為：
Y=C+I
這是一個非常簡單的簡單凱因斯市場的設定。因為Solow model本身是一個
討論經濟成長的model。因此重點是在Y的成長率。而非Y本身的水準。
以下的設定，均為Solow model的重要假設：
生產函數 Y=F(L,K) , 其中L為勞動 K為實質資本。生產函數為一階齊次。
(一階齊次若且唯若規模報酬固定)
儲蓄行為假定為S=sY s為外生給定， 0<s<1
投資行為假定 I=dK/dt-vK v為折舊率 0 <= v <=1
勞動L=N 人口，且人口成長率外生給定為n (dN/dt/N=n)
因為無稅，所以Yd=Y, S=Y-C , 故商品市場均衡條件可以改寫成 I=S
S=I
sY=dK/dt-vK
上式兩邊同除N可以得到：
sY/N=dK/dt/N-vK/N (1)
定義轉換變數 K/N=k, 因為Y為一階齊次，因此Y/N可以寫成
Y/N=F(N,K)/N=F(N/N,K/N)=F(1,k)=f(k)
因此Y/N=f(k)，帶入(1)式可得：
sf(k)=dK/dt/N-vk
上式只剩下dK/dt/N尚未處理，因此我們再處理一下。
利用k=K/N的定義, 取ln 可得：
lnk=lnK-lnN (2)
對(2)式中的t全微分可得：
dk/dt/k=dK/dt/K-dN/dt/N (3)
整理可得：
dk/dt/k=dK/dt/K-n
上式移項n，再同乘K可得：
(dk/dt/k+n)K=dK/dt
兩邊再同除N可得：
(dk/dt/k+n)k=dK/dt/N (4)
把(4)帶入(1)可得：
sf(k)=dK/dt/N-vk
(dk/dt/k+n)k=dK/dt/N
=>sf(k)=(dk/dt/k+n)k-vk
整理可得：
dk/dt/k=sf(k)-(n+v)k
整個經濟體系可以從Y=C+I化成一條動態方程式：
dk/dt/k=sf(k)-(n+v)k
用白話來說，在Solow的眼中，我們的經濟體系在長期的發展上是像此方程式一樣：
dk/dt/k=sf(k)-(n+v)k
k是一個每人資本存量。 capital per capita
f(k)是每人的所得。
當每個人的儲蓄sf(k)大於(n+v)k 時 每人資本k會上升。(dk/dt>0)
你每儲蓄1元，即投資增加，所帶來的產出效益可以大過 人口成長及折舊分掉的部份。
因此效益大於成本，每人投資增加。 (反過來每人投資減少)
當兩則相等時，整個經濟體系達到steady state。
即條件為 sf(k)=(n+v)k
那麼此時成長率是多少呢？
由lnk=lnK-lnN兩邊同微t
dk/dt/k=dK/dt/K-dN/dt/N
=>0=dK/dt/K-dN/dt/N
=> dK/dt/K=dN/dt/N=n
恰好等於外生給定的人口成長率n。
以上只是一些基本的常識，經濟學家及政府關心的不是這個而是以下的問題：
成長率極大下，社會福利一定是極大嗎？ (動態無效率的問題)
政府是否有辦法去影響成長率？政府可以影響福利嗎？
若可以，有那些政策可以使用呢？
首先就solow的模型裡面，無政府無貨幣，因此基本上政府是沒有角色的。
不過我們可以修改模型的設定，納入政府的角色。(要深談下去嗎？)
另外，經濟福利的問題的討論。
Max U 的問題，因為此體系只有消費者所以我們假設以下：
C/N=c Max c 越大，表示福利越高。
因此寫成如下：
Max c=(1-s)F(N,K)/N=(1-s)f(k)
s
s.t sf(k)=(n+v)k
因為k為內生，我們無法影響。故選擇s
但是我們可以仍然可以利用k來解出s。理由是s與k為一對一的關系。
也就是給定一個s只會對應一個最適的k。同理給定一個k只會對應一個s。
因此在求解上並沒有什麼不同。故而我們可以將模型改寫成如下：
Max f(k)-(n+v)k
k
由上可得到f.o.c為如下：
f'(k)=(n+v)
解出的k為黃金法則下的k記為kg 。事實上就是福利極大化下的k。
利用sf(kg)=(n+v)kg 可以解得最適的s=s(kg) 解得真正的s。
結論整個Solow模型，雖然沒有政府，但是他的政策含義有兩個
第一：如果政府可以試圖影響儲蓄率，那麼經濟成長就可以讓政府掌控。
第二：人口成長率決定了經濟成長率，因此政府應該要人們多生小孩子。
第一點的理論，在台灣早期經濟起飛中，給了一個很好的政策提示。
第二點的理論，在先進國家並不適用。因為先進國家人口停止成長，但
經濟卻在成長。因而開創了內生成長理論，並且假設人口成長率n=0。
以上....
※ 引述《Iam5566XD (112)》之銘言：
: 請問讀solow model時
: 要抓住哪些意涵呢
: 變數換來換去 摸不著頭緒
: 請教大家
: 謝謝您
--
在solow model裡面一切都是實質的商品，並沒有貨幣。而且他是一個
沒有政府設定(沒有課稅，但是可以設定有稅)，而且沒有進出口。
因此整個商品市場均衡為：
Y=C+I
這是一個非常簡單的簡單凱因斯市場的設定。因為Solow model本身是一個
討論經濟成長的model。因此重點是在Y的成長率。而非Y本身的水準。
以下的設定，均為Solow model的重要假設：
生產函數 Y=F(L,K) , 其中L為勞動 K為實質資本。生產函數為一階齊次。
(一階齊次若且唯若規模報酬固定)
儲蓄行為假定為S=sY s為外生給定， 0<s<1
投資行為假定 I=dK/dt-vK v為折舊率 0 <= v <=1
勞動L=N 人口，且人口成長率外生給定為n (dN/dt/N=n)
因為無稅，所以Yd=Y, S=Y-C , 故商品市場均衡條件可以改寫成 I=S
S=I
sY=dK/dt-vK
上式兩邊同除N可以得到：
sY/N=dK/dt/N-vK/N (1)
定義轉換變數 K/N=k, 因為Y為一階齊次，因此Y/N可以寫成
Y/N=F(N,K)/N=F(N/N,K/N)=F(1,k)=f(k)
因此Y/N=f(k)，帶入(1)式可得：
sf(k)=dK/dt/N-vk
上式只剩下dK/dt/N尚未處理，因此我們再處理一下。
利用k=K/N的定義, 取ln 可得：
lnk=lnK-lnN (2)
對(2)式中的t全微分可得：
dk/dt/k=dK/dt/K-dN/dt/N (3)
整理可得：
dk/dt/k=dK/dt/K-n
上式移項n，再同乘K可得：
(dk/dt/k+n)K=dK/dt
兩邊再同除N可得：
(dk/dt/k+n)k=dK/dt/N (4)
把(4)帶入(1)可得：
sf(k)=dK/dt/N-vk
(dk/dt/k+n)k=dK/dt/N
=>sf(k)=(dk/dt/k+n)k-vk
整理可得：
dk/dt/k=sf(k)-(n+v)k
整個經濟體系可以從Y=C+I化成一條動態方程式：
dk/dt/k=sf(k)-(n+v)k
用白話來說，在Solow的眼中，我們的經濟體系在長期的發展上是像此方程式一樣：
dk/dt/k=sf(k)-(n+v)k
k是一個每人資本存量。 capital per capita
f(k)是每人的所得。
當每個人的儲蓄sf(k)大於(n+v)k 時 每人資本k會上升。(dk/dt>0)
你每儲蓄1元，即投資增加，所帶來的產出效益可以大過 人口成長及折舊分掉的部份。
因此效益大於成本，每人投資增加。 (反過來每人投資減少)
當兩則相等時，整個經濟體系達到steady state。
即條件為 sf(k)=(n+v)k
那麼此時成長率是多少呢？
由lnk=lnK-lnN兩邊同微t
dk/dt/k=dK/dt/K-dN/dt/N
=>0=dK/dt/K-dN/dt/N
=> dK/dt/K=dN/dt/N=n
恰好等於外生給定的人口成長率n。
以上只是一些基本的常識，經濟學家及政府關心的不是這個而是以下的問題：
成長率極大下，社會福利一定是極大嗎？ (動態無效率的問題)
政府是否有辦法去影響成長率？政府可以影響福利嗎？
若可以，有那些政策可以使用呢？
首先就solow的模型裡面，無政府無貨幣，因此基本上政府是沒有角色的。
不過我們可以修改模型的設定，納入政府的角色。(要深談下去嗎？)
另外，經濟福利的問題的討論。
Max U 的問題，因為此體系只有消費者所以我們假設以下：
C/N=c Max c 越大，表示福利越高。
因此寫成如下：
Max c=(1-s)F(N,K)/N=(1-s)f(k)
s
s.t sf(k)=(n+v)k
因為k為內生，我們無法影響。故選擇s
但是我們可以仍然可以利用k來解出s。理由是s與k為一對一的關系。
也就是給定一個s只會對應一個最適的k。同理給定一個k只會對應一個s。
因此在求解上並沒有什麼不同。故而我們可以將模型改寫成如下：
Max f(k)-(n+v)k
k
由上可得到f.o.c為如下：
f'(k)=(n+v)
解出的k為黃金法則下的k記為kg 。事實上就是福利極大化下的k。
利用sf(kg)=(n+v)kg 可以解得最適的s=s(kg) 解得真正的s。
結論整個Solow模型，雖然沒有政府，但是他的政策含義有兩個
第一：如果政府可以試圖影響儲蓄率，那麼經濟成長就可以讓政府掌控。
第二：人口成長率決定了經濟成長率，因此政府應該要人們多生小孩子。
第一點的理論，在台灣早期經濟起飛中，給了一個很好的政策提示。
第二點的理論，在先進國家並不適用。因為先進國家人口停止成長，但
經濟卻在成長。因而開創了內生成長理論，並且假設人口成長率n=0。
以上....
※ 引述《Iam5566XD (112)》之銘言：
: 請問讀solow model時
: 要抓住哪些意涵呢
: 變數換來換去 摸不著頭緒
: 請教大家
: 謝謝您
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