Re: CES生產函數 vs Cobb-Douglas 生產函數 - 經濟

※ 引述《soun (峰兒)》之銘言：
: ※ 引述《fortiusanima (風簷展書讀)》之銘言：
: : 關於CES生產函數的部分
: : 為什麼當ρ= 0 的時候 整個函數恰巧就是Cobb-Douglas的形式??
: : 當然我能夠接受 他們兩個函數之間的TES(technical rate of substitution)
: : 是完全相同的 但這並不代表這兩個函數彼此等價吧.....
: : 註:
: : CES function : y = [ a1*(x1 ^ρ ) + a2*(x2 ^ρ) ]^( 1/ρ)
: : Cobb-Douglas function : y = x1^a* x2^(1-a) 0 =< a =< 1

當ρ趨近於0時， y = [ a*(x1 ^ρ ) + (1-a)*(x2 ^ρ) ]^( 1/ρ)會變成
y = x1^a* x2^(1-a)

推導的過程我是用很簡單的方式推導出來
先將CES 變成ln形式
ln(y) = ( 1/ρ)*ln[ a*(x1 ^ρ ) + (1-a)*(x2 ^ρ) ]
然後取極限
Limit(ρ-> 0) ln(y)=Limit(ρ-> 0) (1/ρ)*ln [a*(x1 ^ρ ) + (1-a)*(x2 ^ρ)]
這剛好是0/0的形式，可以用羅比達定理(Hopital rule)
就是分子、分母對ρ微分，然後將ρ=0代入。
Limit(ρ-> 0) lny=
{[a*(x1 ^ρ )*ln(x1) + (1-a)*(x2 ^ρ)*ln(x2)]/[a*(x1 ^ρ ) + (1-a)*(x2 ^ρ)]}/1

ρ=0代入等號右邊的方程式
Limit(ρ-> 0) lny= a*ln(x1) + (1-a)*ln(x2)]
等號兩邊取expponential
Limit(ρ-> 0) y=x1^a* x2^(1-a)
就這樣子
峰兒^^
這個應該算數學題，這種問題問微積分老師，馬上就能得到答案吧^^





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