cournot duopoly 求折現率~正解看不懂 - 經濟

※ 引述《luckysnow (幸運雪+去冰珍綠)》之銘言：
: 本題出自Mas-colell ex12.D.3
: 看過解答，第二小題有點小問題～並附上正解簡答
: 請板友指點
: 感謝
: 題目：
: Consider an infinitely repeated cournot duopoly with discount factor R<1,
: unit cost of c>0 and inverse demand function p(Q)=a-bQ, with a>c and b>0.
: (a)Under what conditions can the symmetric joint monopoly outputs(q1,q2)=
: (qm/2,qm/2) be sustained with strategies that call for (qm/2,qm/2) to be
: played if no one has yet deviated and for the single period coutnot
: (Nash) equilibrium to be played otherwise?
: (b)Derive the minimal level of discount factor R such that output levels
: (q1,q2)=(q,q) with q 介於 [(a-c)/2b,(a-c)/b] are sustainable through
: Nash reversion strategies. Show that this level of R, R(q) is an
: increasing function of q.
: 附註
: 1.(qm/2,qm/2)是指 m ，應該是monopoly的產量吧？
: q
: - <--除號
: 2 <--分子
: 2.deviated 背叛
: monopoly 合作、勾結、寡占
: cournot 勾心鬥角
: 答案：
: 勾結的利益(無限期折現) >=
: (第一期獨自背叛) + (第二期以後各自勾心鬥角，無限期折現)
: 我算第一小題：(q合/2,q合/2)，答案都對~利潤式如下
: 合作利潤＝(a-bQ)Q-cQ＝(a-c)^2/8b,
: q1=q2=(a-c)/4b
: 勾心利潤＝[a-b(q1+q2)]*q1-c*q1＝(a-c)^2/9b,
: q1=q2=(a-c)/3b
: 背叛利潤＝[a-b(q1背+q2合)]*q1背-c*q1背＝9(a-c)^2/64b,
: q1= 3(a-c)/8b, q2=(a-c)/4b
: 我算第二小題：(q,q)，合作和勾心利潤有問題？利潤式子設錯@@
: 合作利潤＝(a-bQ)Q-cQ=(a-b*2q)(2q)-c(2q)＝(a-c)^2/8b,<--同第一小題但算錯
: q=(a-c)/4b
: 勾心利潤＝[a-b*2q]*q-c*q＝(a-c)^2/8b, <--q=q故同第一小題~仍錯
: q=(a-c)/4b
: 背叛利潤＝[a-b(q1背+q2合)]*q1背-c*q1背＝b[(a-c)/2b-q/2]^2/64b,
: q=[(a-c)/2b-q/2]
: [問題一]
: 第二小題：(q,q) 正確答案應該是
: 合作利潤＝(a-c)^2/4b, <--這怎麼算出來的？
: 勾心利潤＝(a-c)^2/9b, <--為何都是同個答案？
: 背叛利潤＝b[(a-c)/2b-q/2]^2/64b, <--我算對了
: [問題二]
: 在計算(b)的部份時，為何用(a-c)^2/4b表示合作利潤？
: 而不是如同在計算(a)的部份時，用第一家公司個別合作利潤(a-c)^2/8b來表示？
: [問題三]
: 我算出來R(q) is an decreasing function of q
: [問題四]
: 我雖然第一小題算對了，
: 但我還是不清楚這個題目兩小題意思到底要問什麼？
: 第一小題的這句是啥意思？
: for the single period coutnot (Nash) equilibrium to be played otherwise?
: 第二小題的這個呢？
: through Nash reversion strategies
這題…我提出一些我的看法…
首先…第一小題…
他是想問如果沒有人背叛且奈許均衡在單一期不會以其他方式執行的那個折現值…
可能我這邊沒有翻的很好…
我自己理解的意思…本小題只是很單純的問一般的那個折現值…
這裡講的一般，就是我們在學折現概念時，的那個通用概念…
所以我會很直接的就把這題做四種方式來求解…
第一種：廠商1和廠商2不合作（應該是原PO說的勾心利潤）
第二種：廠商1和廠商2合作（應該是原PO說的合作利潤）
第三種：廠商1違約（即廠商1背叛）
第四種：廠商2違約（即廠商2背叛）
我會做這四種方式，然後劃爭策略式…
我們都知道 NE＝（不合作，不合作）…
然後 PE＝（合作，合作）… PE：柏拉圖效率
這其中的PAYOFF…原PO算出來的和解答一樣…我也算了一次…也一樣…
這部分應該沒問題…
然後接著把無限期的重覆賽局的概念引進來…
我們要算兩廠商合作之下的無限期利潤…
然後再算兩廠商背叛之下的無限期利潤…（因為是對稱，所以只要算一邊）…
然後，合作利潤要大於等於背叛利潤…
藉此我們可以求得折現因子
這就是第一題整個的算法。

然後…第二小題…
其實做法我認為是一樣…
這裡我也有些不確定的地方…
首先，原PO問為何廠商1和廠商2合作利潤怎麼算出來不太對…
嗯…這點我也很遲疑…因為我算出來的和原PO是一樣的…
我有在懷疑是不是我題目沒看清楚或什麼…
不過…想了很久…我有點懷疑…會不會這裡答案有問題？…
不過提供一個思考點…
第一小題是問（q/2,q/2），但第二小題是問（q,q）…
這裡我在懷疑…不過就是懷疑…沒有很確定…
第一題講的合作…感覺是「利潤各半」…
第二題講的合作…是不是有「利潤全拿」（也就是兩間合為一間的概念）…
這是我在思考的一個點…但是我沒有很確定…因為我覺得題目沒有講的很清楚…
但…如果是我懷疑的那個想法，利潤就不用除以2…就是解答上的那個答案…
然後第二個部分，兩廠不合作…
原po你再算一遍看看…我算出來的是一樣的…
和第一小題算法中，唯一不同的是，我會帶入q1=q2=q求NE…
然後另一部分原PO算出來是對的…就不多討論…
最後…到底折現率是q的遞增還遞減函數…
個人算出來是遞減和原po一樣…也和解答寫的一樣…
會不會是題目打錯？…

嗯…其實第二小題有點小部分的爭議…
不過我也沒辦法確定…因為解答有可能有錯…題目也有可能出錯…
太多可能性…
所以只能提供想法…和一些思考過程…
第一小題應該是沒啥問題…
我想…應該所有的題目都是照第一小題的標準過程在解…
只是有些地方做變化時…需要改變一些條件去帶…
可能題目表達不清…或什麼…這點就沒辦法確定…
m-c這本書…真的很難…個人沒認真讀過…
只有看過…所以…不確定有些是不是書中有寫到…

大概提供的想法是這樣…希望有幫到你…
其他的…應該是我能力不及的地方…呵…幫不上忙的地方…抱歉囉…^^"

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