效用理論配置一天24小時活動 - 經濟

max U=U(X,Y,Z)
st. PxX+PyY+PzZ=24P
st. X + Y + Z = 24

F.O.C. Ux/Px=Uy/Py=Uz/Pz
S.O.C. Ux > 0 , Uy > 0 , Uz > 0
Uxx <0 , Uyy <0 , Uzz <0

yields to Uz(X,Y,Z)=(Pz/Px)*Ux

Uy(X,Y,Z)=(Py/Px)*Ux

substitute Y=24-X-Z Z=24-Y-X

Uz(X,Y,Z)=Uz(X,24-X-Z,Z)=Uz(X,Z)=(Pz/Px)*Ux

Uy(X,Y,Z)=Uy(X,Y,24-Y-X)=Uy(X,Y)=(Py/Px)*Ux

turn inverse,

Z=Uz^(-1)[(Pz/Px)*Ux,X]

Y=Uy^(-1)[(Py/Px)*Ux,X]

sub. into PxX+PyY+PzZ=24P

PxX+Py*Uy^(-1)[(Py/Px)*Ux,X]+Pz*Uz^(-1)[(Pz/Px)*Ux,X]=24P


化簡之後應該可得 X是一連串由Px,Py,Pz,Uy,Ux,Uz,P組成的函數




感謝lorlbreeze提供的第二條限制式


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