三種財貨的完全互補型效用函數求均衡解 - 經濟

題目如下，試求效用極大化的最適解

Max U(x,y,z) = min{ax,by, z}

s.t Px*(x)+Py*(y)+Pz*(z) = M


解答如下

-1
x* = M*(Px+(a/b)*Py+a*Pz)
-1
y* = (a/b)*M*(Px+(a/b)*Py+a*Pz)
-1
z* = a*M*(Px+(a/b)*Py+a*Pz)


解答的做法是直接令 x=(b/a)*y=(1/a)*z 帶入 Px*(x)+Py*(y)+Pz*(z) = M 求解

但是小弟不太懂可以直接這樣解題的依據是什麼

兩財貨的完全互補我們可以利用x-y平面討論分解區域再依照給定的區間來做解釋

但是遇到三財貨的完全互補想要嚴謹的解釋作答，小弟我就一籌莫展了@@

希望版上能有神人好心援手，解釋為啥能直接這樣做，正式解答應該怎麼寫

小弟感激不盡 m(_ _)m

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